Trigonometrìa.

Mat. - Studio delle relazioni che intercorrono tra gli elementi di un triangolo (lati e angoli) e applicazione di tali relazioni alla risoluzione dei triangoli. Rientrano nell'ambito della t., in senso esteso, anche l'applicazione delle stesse relazioni alla determinazione di enti relativi a figure geometriche diverse dal triangolo e lo studio delle funzioni trigonometriche. ║ T. piana: parte della t. che concerne i triangoli piani e le figure geometriche piane. Elenchiamo in ordine alfabetico le principali formule che danno gli elementi e i teoremi più importanti di un triangolo. Nel seguito facciamo riferimento a un triangolo ABC avente angoli α, β, γ rispettivamente opposti ai lati a, b, c, dove a = AB, b = BC, c =AC; il perimetro è indicato con 2p, mentre O e R indicano il centro e il raggio della circonferenza circoscritta. ║ Altezza di un triangolo: con riferimento all'altezza h_a relativa al lato a, h_a = b senγ = c senβ. ║ Area di un triangolo: indicata con S l'area di un triangolo qualsiasi, si ha S―absenγ/2―2R² senα senβ, senγ ― √p(p-a)(p-b)(p-c). ║ Raggio del cerchio circoscritto a un triangolo: R = a/2 senα = b/2 senβ = c/2 senγ. ║ Formule di Briggs: gruppo di sei formule, le cui prime due sono:





e le altre quattro si ottengono permutando circolarmente α, β, γ e a, b, c. ║ Formule di Nepero: gruppo di tre formule, delle quali la prima è



mentre le altre due si ottengono permutando circolarmente α, β, γ e a, b, c. ║ Formule e identità trigonometriche: formule e identità riguardanti le funzioni trigonometriche. Ricordiamo di seguito le principali. Formule di addizione, esprimenti le funzioni trigonometriche degli angoli (α + β) e (α - β) in funzione degli angoli α e β:





Formule di bisezione, esprimenti le funzioni trigonometriche di α/2 in funzione dell'angolo α:





Formule di duplicazione, esprimenti le funzioni trigonometriche dell'angolo 2α a partire dall'angolo α:





Sono utili anche le formule



dette formule parametriche, in quanto esprimono le funzioni circolari di α a partire dalla sola funzione tg α; trovano applicazione in particolare nella risoluzione delle equazioni trigonometriche lineari. Formule di prostaferesi, che trasformano la somma di due funzioni circolari in un prodotto:






Dalle formule elencate, riguardanti le sole funzioni trigonometriche seno coseno e tangente, possono essere facilmente ricavate le corrispondenti formule per le funzioni cotangente, secante e cosecante. ║ Teorema di Carnot o del coseno: V. CARNOT, LAZARE. ║ Teorema delle proiezioni: teorema che consente di ricavare ogni lato di un triangolo dagli altri due, come somma delle rispettive proiezioni su di esso. In formule:

a = b cosγ + c cosβ

║ Teorema dei seni: V. SENO. ║ Risoluzione di un triangolo rettangolo: con riferimento a un triangolo rettangolo di ipotenusa a e cateti b e c, si ha: b = a senβ = a cosγ = c tgβ = c ctgγ; c = a senγ = a cosβ = b tgγ = b ctgβ. ║ T. sferica: parte della t. che tratta le relazioni esistenti tra gli elementi di un triangolo sferico. Siano A, B, C, i vertici di un triangolo sferico di lati a, b, c, e angoli α, β e γ rispettivamente nei vertici A, B e C; misurando i lati e gli angoli in gradi sessagesimali, si ha che ogni lato e ogni angolo di un triangolo sferico è compreso tra 0° e 180°. La t. sferica presenta alcune analogie con la t. piana, dalla quale, tuttavia, differisce per due elementi essenziali: 1) la somma degli angoli di un triangolo sferico è sempre compresa tra uno o tre angoli piatti; 2) non esistono relazioni che legano i lati e gli angoli di un triangolo sferico, ma solo relazioni che legano le funzioni circolari dei lati e le funzioni circolari degli angoli. La differenza ε tra la somma degli angoli interni di un triangolo sferico e un angolo piatto prende il nome di eccesso sferico; in formule, ε = α + β + γ - 180°. L'area A di un triangolo sferico si può esprimere in funzione di ε e del raggio R della sfera su cui è tracciato mediante la formula A = R² ε. Le relazioni fondamentali tra angoli e lati comprendono anche un teorema del seno e un teorema del coseno. Questi due teoremi risultano ordinatamente espressi dalle seguenti relazioni:



cosa = cosb cosc + senb senc cosα

e da analoghe ottenute permutando circolarmente le lettere. Combinando opportunamente le formule precedenti si possono ricavare le formule di Nepero che esprimono il seno e il coseno di un angolo in funzione delle ampiezze dei lati del triangolo sferico:





e le formule analoghe che si ottengono permutando circolarmente i lati e gli angoli. Infine, un triangolo sferico avente i tre lati e i tre angoli uguali viene detto equilatero, mentre rettangolo un triangolo avente un angolo retto. In un triangolo sferico rettangolo vale il seguente teorema, generalizzazione del teorema di Pitagora:

sen²(a/2) = sen²(b/2) cos²(c/2) + sen²(c/2) cos²(b/2)