Transfinito.

Mat. - Che va al di là del finito. ║ Teoria dei numeri t.: teoria sviluppata da G. Cantor, contemporaneamente a quella degli insiemi, il cui scopo è generalizzare il concetto di numero naturale al di là del numerabile. Cantor partì dal concetto di numero cardinale o potenza di un insieme I, definito come ciò che si ricava da tale insieme facendo astrazione sia dalla qualità dei suoi elementi, sia dall'ordine in cui essi sono espressi; se l'insieme I è finito, il suo cardinale è un numero naturale, altrimenti è un numero t. Il più piccolo dei numeri t. è la potenza dell'insieme dei naturali, detto potenza del numerabile, e indicato con il simbolo (Alef zero). L'esistenza di una successione illimitata di numeri t. è determinata dal teorema di Cantor, in base al quale la potenza di un insieme I è minore della potenza dell'insieme delle sue parti; la potenza dell'insieme delle parti dei numeri naturali viene indicata con (Alef uno). È possibile dimostrare che è pari alla potenza dell'insieme dei numeri reali: esso, pertanto, prende il nome di potenza del continuo. Cantor si pose poi il problema di stabilire se esistono numeri cardinali intermedi tra e e, più in generale, tra e . Non riuscendo a risolverlo, formulò una congettura, detta ipotesi cantoriana del continuo, in base alla quale non esistono tali potenze intermedie; è stato poi dimostrato da P. Cohen nel 1963 che, in base alle assiomatizzazioni fatte, non è decidibile se esistano o meno potenze intermedie. Le operazioni ordinarie definite per i numeri naturali possono essere facilmente estese ai numeri cardinali, ottenendo così l'aritmetica t.