Geogr. - Studio delle caratteristiche del
paesaggio e del suolo. • Ling. - Studio della collocazione delle parole
nella frase. • Mat. - Ramo della matematica che studia le proprietà
di enti geometrici invarianti per deformazioni continue delle figure
corrispondenti. La
t., pertanto, studia tutte le proprietà di uno
spazio che restano inalterate eseguendo una qualsiasi trasformazione biunivoca e
bicontinua, una trasformazione, cioè, che muta punti vicini in punti
vicini e viceversa; per rendere rigorosi tali concetti è necessario
introdurre una nozione di spazio e una nozione di vicinanza, che prescinda, a
priori, dal concetto di misura. La
t. generale si occupa della
definizione degli enti che stanno alla base della
t., gli
spazi
topologici, e dello studio delle loro principali proprietà;
introduce, inoltre, nozioni di applicazione più vasta che è
possibile sviluppare in uno spazio topologico, come le nozioni di connessione,
di compattezza, ecc. Uno
spazio topologico viene definito
assiomaticamente come un insieme
S di elementi, detti
punti, al
quale sia associata una famiglia
F di sottoinsiemi, detti
aperti di
S, soddisfacenti opportuni assiomi; si dice anche che nell'insieme
S
è stata introdotta una
t. o una
struttura topologica. La
nozione di vicinanza tra due punti dello spazio è strettamente correlata
alla struttura topologica di cui lo spazio stesso è dotato; in
particolare, si dice che due punti
P e
Q sono vicini se esiste un
aperto di
F contenente
P e
Q. Ogni aperto di
F
è, pertanto,
intorno di ogni suo punto, generalizzando la nozione
di intorno nota in geometria euclidea piana. In uno stesso insieme di enti
possono essere introdotte più strutture topologiche non equivalenti: in
tal caso, l'insieme può essere considerato spazio topologico in
più modi e può accadere che proprietà valide in un caso non
valgano più cambiando la struttura di aperti. Dati due spazi topologici
S e
S', è possibile introdurre tra di essi
un'
applicazione continua f, cioè un'applicazione tale che la
controimmagine di ogni aperto dello spazio
S'
sia un aperto dello
spazio
S; in particolare, un'applicazione
f biunivoca e
bicontinua, cioè tale che siano continue sia
f sia la sua inversa
f -1, viene detta
omeomorfismo tra
S e
S'; si dice anche che gli spazi
S e
S' sono
omeomorfi. Spazi omeomorfi hanno le medesime proprietà
topologiche: sono, cioè, topologicamente equivalenti. Dato uno spazio
topologico
S, ogni suo sottoinsieme
S' può essere
riguardato a sua volta come spazio topologico, considerando in esso la
t.
indotta da
S, che è quella costituita dalle intersezioni di
S' con gli aperti di
S; si dice in tal caso che
S' è
un
sottospazio topologico di
S. A partire da due spazi
S e
S', inoltre, è possibile costruire un nuovo spazio topologico,
detto
spazio prodotto: tale spazio è formato dal prodotto
cartesiano dei due insiemi
S e
S', dotato della
t.
prodotto, costituita, cioè, dai prodotti cartesiani ordinati degli
aperti di
S e di
S' e da tutte le loro possibili unioni. Uno
spazio topologico si dice
connesso se non è ottenibile come unione
di due suoi aperti disgiunti e non vuoti; uno spazio topologico si dice
compatto se ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento
formato da un numero finito di insiemi. Le nozioni di connessione e di
compattezza sono tipicamente topologiche, cioè sono invarianti per
omeomorfismo. Un particolare spazio topologico è lo
spazio
metrico, nel quale è definita una distanza
d tra i suoi punti,
detta
metrica; in uno spazio metrico è possibile introdurre una
struttura topologica, definendo
intorno di ogni suo punto
P
l'insieme dei punti
Q tali che
d(
P,
Q)
<r,
dove
r è una costante positiva arbitraria, detta
raggio.
Viceversa, dato un qualsiasi spazio topologico non è sempre possibile
introdurre in esso una metrica tale che la
t. da essa indotta sia
equivalente a quella iniziale: in altre parole, non tutti gli spazi sono
metrizzabili. La metrizzabilità, a differenza della metrica,
è una proprietà topologica, cioè invariante per
omeomorfismo. Un ramo importante della
t., detto
t. algebrica, si
occupa di associare a uno spazio topologico una o più strutture
algebriche, in modo da poter studiare e risolvere problemi topologici con
tecniche e metodi propriamente algebrici. Poiché lo studio delle curve
semplici chiuse di uno spazio topologico fornisce numerose informazioni sulla
struttura topologica dello spazio stesso, è naturale partire da esse per
la costruzione dei gruppi di omologia. Dato uno spazio topologico
S, le
combinazioni lineari finite a coefficienti interi relativi delle sue curve
chiuse orientate,
z = n1z1 + ... +
nrzr, prendono il nome di
cicli a 1 dimensione;
rispetto all'operazione di somma che può essere definita in modo naturale
tra di essi, i cicli costituiscono un gruppo abeliano
Z. Un importante
sottogruppo di
Z è costituito dal gruppo
B dei
bordi, cioè dai cicli che, con opportune regole sull'orientamento,
risultano contorno di una porzione di superficie appartenente allo spazio
S; il gruppo quoziente
Z/B, indicato con
H1(
S), prende il nome di
gruppo di omologia di
dimensione 1 dello spazio
S. In modo analogo è possibile
introdurre gruppi di omologia di dimensione superiore, a partire da opportune
successioni di gruppi abeliani e di omeomorfismi, detti
complessi di
catene. Il calcolo dei gruppi di omologia di uno spazio topologico assegnato
può essere eseguito in diversi modi, sia partendo dalla conoscenza dei
gruppi di altri spazi legati a
S da precise relazioni topologiche, sia
mediante tecniche proprie della
t. combinatoria, nel caso in cui lo
spazio sia
triangolabile mediante un complesso simpliciale, cioè
sia possibile ricoprire
S con un ricoprimento di tipo poliedrale. Un
altro strumento importante per lo studio degli spazi topologici è dato
dalla
teoria dell'omotopia. Due applicazioni continue
f e
g
di
S in
S' vengono dette
omotope se esiste un'applicazione
continua
h da [0,1] x
S in
S', in modo che
h(
0,
x)
= f(
x)
e
h(
1,
x)
= g(
x)
per ogni
x appartenente a
S. In
altri termini, due applicazioni
f e
g sono omotope se è
possibile deformare con continuità la prima nella seconda. La relazione
di omotopia risulta essere una relazione di equivalenza; l'insieme delle
applicazioni continue tra
S e
S', pertanto, viene suddivisa in
classi di omotopia. È possibile, in alcuni casi, introdurre
un'operazione di composizione tra classi di omotopia, in modo da ottenere un
gruppo (
gruppo di omotopia) per ciascuna dimensione. L'omotopia fornisce
anche uno strumento per la classificazione degli spazi topologici; due spazi
S e
S' vengono detti
omotopi se esistono due applicazioni
continue
f:
S →
S' e
g:
S'
→
S tali che le applicazioni composte
fg e
gf
siano omotope alle identità, rispettivamente, in
S' e in
S.
Spazi omeomorfi sono omotopi, mentre non vale il viceversa; esistono spazi
omotopi che non sono omeomorfi.