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Topologìa.

Geogr. - Studio delle caratteristiche del paesaggio e del suolo. • Ling. - Studio della collocazione delle parole nella frase. • Mat. - Ramo della matematica che studia le proprietà di enti geometrici invarianti per deformazioni continue delle figure corrispondenti. La t., pertanto, studia tutte le proprietà di uno spazio che restano inalterate eseguendo una qualsiasi trasformazione biunivoca e bicontinua, una trasformazione, cioè, che muta punti vicini in punti vicini e viceversa; per rendere rigorosi tali concetti è necessario introdurre una nozione di spazio e una nozione di vicinanza, che prescinda, a priori, dal concetto di misura. La t. generale si occupa della definizione degli enti che stanno alla base della t., gli spazi topologici, e dello studio delle loro principali proprietà; introduce, inoltre, nozioni di applicazione più vasta che è possibile sviluppare in uno spazio topologico, come le nozioni di connessione, di compattezza, ecc. Uno spazio topologico viene definito assiomaticamente come un insieme S di elementi, detti punti, al quale sia associata una famiglia F di sottoinsiemi, detti aperti di S, soddisfacenti opportuni assiomi; si dice anche che nell'insieme S è stata introdotta una t. o una struttura topologica. La nozione di vicinanza tra due punti dello spazio è strettamente correlata alla struttura topologica di cui lo spazio stesso è dotato; in particolare, si dice che due punti P e Q sono vicini se esiste un aperto di F contenente P e Q. Ogni aperto di F è, pertanto, intorno di ogni suo punto, generalizzando la nozione di intorno nota in geometria euclidea piana. In uno stesso insieme di enti possono essere introdotte più strutture topologiche non equivalenti: in tal caso, l'insieme può essere considerato spazio topologico in più modi e può accadere che proprietà valide in un caso non valgano più cambiando la struttura di aperti. Dati due spazi topologici S e S', è possibile introdurre tra di essi un'applicazione continua f, cioè un'applicazione tale che la controimmagine di ogni aperto dello spazio S' sia un aperto dello spazio S; in particolare, un'applicazione f biunivoca e bicontinua, cioè tale che siano continue sia f sia la sua inversa f -1, viene detta omeomorfismo tra S e S'; si dice anche che gli spazi S e S' sono omeomorfi. Spazi omeomorfi hanno le medesime proprietà topologiche: sono, cioè, topologicamente equivalenti. Dato uno spazio topologico S, ogni suo sottoinsieme S' può essere riguardato a sua volta come spazio topologico, considerando in esso la t. indotta da S, che è quella costituita dalle intersezioni di S' con gli aperti di S; si dice in tal caso che S' è un sottospazio topologico di S. A partire da due spazi S e S', inoltre, è possibile costruire un nuovo spazio topologico, detto spazio prodotto: tale spazio è formato dal prodotto cartesiano dei due insiemi S e S', dotato della t. prodotto, costituita, cioè, dai prodotti cartesiani ordinati degli aperti di S e di S' e da tutte le loro possibili unioni. Uno spazio topologico si dice connesso se non è ottenibile come unione di due suoi aperti disgiunti e non vuoti; uno spazio topologico si dice compatto se ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento formato da un numero finito di insiemi. Le nozioni di connessione e di compattezza sono tipicamente topologiche, cioè sono invarianti per omeomorfismo. Un particolare spazio topologico è lo spazio metrico, nel quale è definita una distanza d tra i suoi punti, detta metrica; in uno spazio metrico è possibile introdurre una struttura topologica, definendo intorno di ogni suo punto P l'insieme dei punti Q tali che d(P, Q)<r, dove r è una costante positiva arbitraria, detta raggio. Viceversa, dato un qualsiasi spazio topologico non è sempre possibile introdurre in esso una metrica tale che la t. da essa indotta sia equivalente a quella iniziale: in altre parole, non tutti gli spazi sono metrizzabili. La metrizzabilità, a differenza della metrica, è una proprietà topologica, cioè invariante per omeomorfismo. Un ramo importante della t., detto t. algebrica, si occupa di associare a uno spazio topologico una o più strutture algebriche, in modo da poter studiare e risolvere problemi topologici con tecniche e metodi propriamente algebrici. Poiché lo studio delle curve semplici chiuse di uno spazio topologico fornisce numerose informazioni sulla struttura topologica dello spazio stesso, è naturale partire da esse per la costruzione dei gruppi di omologia. Dato uno spazio topologico S, le combinazioni lineari finite a coefficienti interi relativi delle sue curve chiuse orientate, z = n1z1 + ... + nrzr, prendono il nome di cicli a 1 dimensione; rispetto all'operazione di somma che può essere definita in modo naturale tra di essi, i cicli costituiscono un gruppo abeliano Z. Un importante sottogruppo di Z è costituito dal gruppo B dei bordi, cioè dai cicli che, con opportune regole sull'orientamento, risultano contorno di una porzione di superficie appartenente allo spazio S; il gruppo quoziente Z/B, indicato con H1(S), prende il nome di gruppo di omologia di dimensione 1 dello spazio S. In modo analogo è possibile introdurre gruppi di omologia di dimensione superiore, a partire da opportune successioni di gruppi abeliani e di omeomorfismi, detti complessi di catene. Il calcolo dei gruppi di omologia di uno spazio topologico assegnato può essere eseguito in diversi modi, sia partendo dalla conoscenza dei gruppi di altri spazi legati a S da precise relazioni topologiche, sia mediante tecniche proprie della t. combinatoria, nel caso in cui lo spazio sia triangolabile mediante un complesso simpliciale, cioè sia possibile ricoprire S con un ricoprimento di tipo poliedrale. Un altro strumento importante per lo studio degli spazi topologici è dato dalla teoria dell'omotopia. Due applicazioni continue f e g di S in S' vengono dette omotope se esiste un'applicazione continua h da [0,1] x S in S', in modo che h(0, x) = f(x) e h(1, x) = g(x) per ogni x appartenente a S. In altri termini, due applicazioni f e g sono omotope se è possibile deformare con continuità la prima nella seconda. La relazione di omotopia risulta essere una relazione di equivalenza; l'insieme delle applicazioni continue tra S e S', pertanto, viene suddivisa in classi di omotopia. È possibile, in alcuni casi, introdurre un'operazione di composizione tra classi di omotopia, in modo da ottenere un gruppo (gruppo di omotopia) per ciascuna dimensione. L'omotopia fornisce anche uno strumento per la classificazione degli spazi topologici; due spazi S e S' vengono detti omotopi se esistono due applicazioni continue f: SS' e g: S' S tali che le applicazioni composte fg e gf siano omotope alle identità, rispettivamente, in S' e in S. Spazi omeomorfi sono omotopi, mentre non vale il viceversa; esistono spazi omotopi che non sono omeomorfi.