Tensore.

Che allontana le estremità di un oggetto tirando per quanto possibile, in modo che l'oggetto occupi per intero la lunghezza di cui è capace. • Anat. - Muscolo volontario o involontario che tende un organo o una formazione anatomica: t. del timpano. • Mat. - Ente matematico soddisfacente opportune leggi di trasformazione per cambiamento di coordinate. Il concetto di t. è nato dall'esigenza fisico-meccanica di poter rappresentare l'andamento delle forze nello spazio con una descrizione geometrica analoga a quella fornita dal concetto di vettore nel piano; l'introduzione di questo operatore è dovuta al fisico W. Voigt, che fu condotto alla considerazione di tali enti dai suoi studi sui cristalli (1882). Ai grandi matematici italiani G. Ricci e T. Levi-Civita, tuttavia, va il merito di aver sviluppato il calcolo tensoriale, o calcolo differenziale assoluto, che pochi anni dopo permise ad A. Einstein di formulare la teoria della relatività generale. I vantaggi presentati dal calcolo tensoriale sono numerosi; in particolare, esso guida nella ricerca e nella scelta delle leggi fisiche invarianti rispetto a trasformazioni di coordinate e consente di formulare in modo compatto le equazioni generali di una teoria geometrica o fisico-matematica. Per introdurre la nozione di t., si consideri innanzitutto la rappresentazione di un vettore v secondo una terna cartesiana ortogonale: esso è individuato dalle sue componenti v¹, v², v³ lungo gli assi. Se lo stesso vettore viene rappresentato secondo un'altra terna cartesiana, esso non muta, ma le sue componenti si trasformano con una relazione in cui compaiono i coseni direttori della prima terna rispetto alla seconda, secondo la relazione v^i' = a^i'_j vⁱ, i' = 1, 2, 3, dove v^i' è la componente del vettore rispetto al secondo sistema di riferimento, e il termine a^i'_j rappresenta il coseno direttore degli assi i' e i dei due sistemi di riferimento; in tale relazione si è adottata la convenzione di sottointendere il simbolo di sommatoria, facendo comparire due volte l'indice rispetto al quale va considerata la sommatoria stessa. Più in generale, in una varietà differenziabile M_N a N dimensioni munita di un sistema di coordinate locali xⁱ, si consideri il vettore PQ individuato da un punto P di coordinate xⁱ e da un punto Q infinitamente vicino a P, di coordinate xⁱ + dxⁱ; si dice allora che il vettore PQ ha componenti dxⁱ. Se si considera poi una N-pla di funzioni x^i' = x^i'(x¹, x², ..., x^N), i' = 1, .., N, a jacobiano non nullo, esse individuano un cambiamento di coordinate locali; le nuove componenti dx^i' del vettore PQ sono legate alle precedenti dalla relazione



Il vettore PQ è il prototipo di una classe di enti geometrici, detti vettori controvarianti: si dice che N quantità vⁱ, i = 1, ..., N, associate a un punto P, rappresentano le componenti di un vettore controvariante v se in un cambiamento di coordinate esse si trasformano secondo la legge



In modo del tutto analogo, un ente geometrico rappresentato da N² componenti a due indici, T^hk, che in un cambiamento di coordinate si trasforma secondo la relazione



si dice t. doppio o del 2° ordine, controvariante. T. controvarianti di ordine qualsiasi possono essere definiti in modo del tutto analogo a quanto fatto. Accanto ai vettori e ai t. controvarianti possono essere introdotti i vettori t. covarianti; un insieme di N quantità v_i associate a un punto P rappresenta un vettore covariante se in un cambiamento di coordinate vale la relazione



Per convenzione, gli indici che esprimono il carattere controvariante di un ente sono scritti in alto a destra, accanto al simbolo che rappresenta l'ente, mentre quelli che esprimono il carattere covariante sono scritti in basso a destra. In modo analogo, l'insieme di N² componenti a due indici, T_hk, associate a un punto P, che in un cambiamento di coordinate si trasforma secondo la relazione



si dice t. doppio o del 2° ordine, covariante. Possono essere introdotti, infine, i t. misti come enti geometrici rappresentati da componenti aventi alcuni indici di controvarianza e altri di covarianza. Dati due t. dello stesso tipo e di uguale ordine, è possibile definire la somma dei due t. come quel t. che ha per componenti la somma delle componenti corrispondenti dei due t. addendi; se si moltiplica ogni componente del primo per tutte le componenti del secondo, invece, si ottiene un nuovo t., che viene detto prodotto esterno del primo per il secondo. Dato un t. misto, infine, si definisce prodotto interno o contrazione di due indici di tipo diverso, l'operazione che consiste nell'uguagliare i valori di tali indici e nell'effettuare la somma rispetto ad essi; per esempio, dato il t. Aⁱ_k, la contrazione fornisce la quantità Aⁱ_i, che è uno scalare invariante. Data una varietà differenziabile a N dimensioni M_N sufficientemente regolare, è possibile associare a ogni suo punto P₀ uno spazio vettoriale V_N, detto spazio vettoriale tangente, definito come lo spazio generato dai vettori ∂₁P = (1, 0, ..., 0), ∂₂P = (0, 1, ..., 0), .., ∂_NP = (0, 0, ..., 1) nel sistema di coordinate locali (xⁱ) valide in un intorno del punto P₀. L'introduzione dello spazio vettoriale tangente consente di definire campi di vettori e di t. sulla varietà stessa; in particolare, si può attribuire alla varietà M_N un campo di t. doppi simmetrici covarianti g_hk che nello spazio tangente a ogni suo punto permetta di definire il prodotto scalare e l'angolo di due vettori: una varietà alla quale sia stato associato un tale campo prende il nome di varietà riemanniana e il t. g_hk viene detto t. fondamentale o t. metrico della varietà. Una varietà riemanniana che in un intorno di ogni suo punto possieda un sistema di coordinate locali rispetto al quale le componenti del t. metrico sono costanti viene detta euclidea, e le coordinate che godono di tali proprietà vengono dette cartesiane. Il calcolo tensoriale adopera un simbolismo che evita ogni riferimento a particolari sistemi di coordinate; in alcuni casi, tuttavia, è utile far uso di sistemi di coordinate opportune. In particolare, in tipi speciali di varietà riemanniane, quindi in uno spazio euclideo, possono essere introdotti sistemi di coordinate ortogonali, rispetto alle quali il t. metrico ha componenti g_hk = 0, se h ≠ k. Se la varietà riemanniana, poi, è uno spazio euclideo tridimensionale, è preferibile adoperare sistemi di coordinate cartesiane ortogonali e, limitandosi a queste, si considerano solo le trasformazioni ortogonali; inoltre, vengono scelte terne di assi aventi tutte lo stesso orientamento, in modo che lo jacobiano delle trasformazioni di coordinate sia sempre +1. I t. che si introducono su tale spazio, allora, prendono il nome di t. cartesiani orientati. Classici esempi di t. in uno spazio euclideo tridimensionale sono i t. utilizzati in meccanica: il t. degli sforzi, che consente di valutare la distribuzione degli sforzi in un intorno del generico punto di un sistema continuo, il t. di deformazione, che rappresenta l'insieme delle deformazioni generate da uno spostamento regolare di un intorno di un generico punto di un sistema continuo, il t. d'inerzia.