Sèrie.

Successione ordinata di cose, persone, avvenimenti in relazione fra loro e disposti secondo un certo criterio. ║ S. di biglietti di banca: quantità di banconote distinte da una lettera dell'alfabeto premessa alla progressione numerica. ║ S. di francobolli: in filatelia, l'insieme dei francobolli di diverso valore facenti parte della stessa emissione. • Giorn. - L'insieme dei fascicoli di una rivista contrassegnati da numeri progressivi. • Tipogr. - Insieme dei caratteri distinti secondo la forma alfabetica (maiuscoli, minuscoli, maiuscoletti), la larghezza (normali, stretti, larghi), la pendenza (tondi, corsivi), il tono (chiari, neretti). • Mus. - Successione di intervalli ordinata e immutabile usata come tema o come struttura fondamentale di una composizione. La s. svolge una funzione basilare nella musica dodecafonica e seriale. • Teat. e Cin. - Successione di produzioni teatrali, radiofoniche, cinematografiche o televisive basate su un medesimo tema. • Econ. - Produzione in s.: produzione di una grande quantità di oggetti identici a un unico modello. La produzione in s. viene effettuata mediante una particolare organizzazione del lavoro, detta lavorazione in s., fondata sull'utilizzo di processi automatizzati che garantiscono la perfetta riproduzione del modello e consentono una notevole riduzione dei costi unitari; d'altro canto, la produzione in s. necessita di una rilevante domanda, ed è pertanto accompagnata da una diminuzione dei prezzi. • Ind. - Automobile fuori s.: automobile il cui modello non viene costruito in s., presentando particolari caratteristiche di costruzione nelle parti meccaniche e nella carrozzeria. • Biol. - Successione di comunità biologiche che conduce al climax. • Chim. - Successione di elementi o composti ordinata secondo una regola generale: ne sono esempi la s. alifatica e la s. aromatica degli idrocarburi. Le s. prendono spesso il nome dal primo termine della sequenza. ║ S. omologa: s. di composti chimicamente simili, che differiscono tra di loro per un numero costante di atomi. • Elettr. - Collegamento o accoppiamento in s.: collegamento di più elementi che si ottiene accoppiando i vari elementi uno di seguito all'altro, in modo che siano tutti percorsi dalla medesima corrente; l'impedenza complessiva risulta pari alla somma delle impedenze dei singoli componenti. Se gli elementi sono polarizzati, il collegamento deve garantire la connessione tra i poli eteronomi, come nel caso di un accoppiamento in s. tra generatori di tensione continua: la differenza di potenziale agli estremi è data allora dalla somma delle singole forze elettromotrici. Analogamente, la resistenza complessiva di più resistori in s. è data dalla somma delle resistenze componenti, mentre l'induttanza complessiva di una s. di induttori è la somma delle singole induttanze; fa eccezione il collegamento in s. tra più condensatori, per il quale è facile dimostrare che il reciproco della capacità complessiva è pari alla somma dei reciproci delle singole capacità componenti. ║ Distribuzione in s.: distribuzione dell'energia elettrica caratterizzata da un collegamento in s. tra gli utilizzatori, come in alcuni impianti di illuminazione pubblica. • Fis. - S. spettrali: gruppo di righe di uno spettro le cui frequenze possono essere ricavate tutte da una medesima formula. Esempi tipici sono la s. di Lyman, la s. di Balmer, la s. di Paschen, la s. di Brackett nello spettro dell'idrogeno, le cui frequenze f sono date rispettivamente dalle formule f = R(1-1/n²); f = R(1/2²-1/n²); f = R(1/3²-1/n²); f = R (1/4²-1/n²) dove R è la costante di Rydberg e n un numero intero maggiore, rispettivamente, di 1, 2, 3, 4. Particolarmente importante è la s. di Balmer, situata in gran parte nella regione visibile dello spettro, che costituì il punto di partenza per il modello dell'atomo di Bohr. • Geol. - L'insieme degli strati sedimentari, considerati nella loro successione cronologica. ║ S. normale: successione stratigrafica nella quale l'ordine di sovrapposizione dei vari strati corrisponde a quello originario di sedimentazione. ║ S. inversa: successione stratigrafica nella quale, a causa di un rovesciamento tettonico, l'ordine di sovrapposizione dei diversi strati è invertito rispetto all'ordine di sedimentazione originario. • Mat. - Data una successione di elementi a₁, a₂, ..., a_n, tra i quali abbia senso effettuare la somma, si definisce s. l'espressione simbolica



con la quale si vuole indicare la somma degli infiniti elementi a_n, detti termini della s. A tale operazione viene dato un significato ben preciso: alla successione a₁, a₂, .....a_n, viene associata la successione s₁ = a₁, s₂ = a₁ + a₂, ....., s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n, detta successione delle somme parziali. Costruita tale successione, si considera il limite per n → ∞: se tale limite esiste finito e vale S, la s. si dice convergente, e S si dice somma della s.; se tale limite esiste, ma è infinito, la s. si dice divergente; se il limite non esiste, la s. si dice indeterminata. Data una s. Σ_n a_n, si chiama resto parziale n-esimo, e si indica con R_n, la nuova s. che si ottiene sopprimendo i primi n termini dalla s. assegnata, cioè R_n = a_n+1 + a_n+2 + ... Una s. e il proprio resto possono essere contemporaneamente convergenti, divergenti o indeterminati. Hanno particolare importanza le s. i cui termini sono numeri (s. numeriche), funzioni (s. di funzioni), matrici (s. di matrici). ║ S. numeriche: s. i cui termini sono numeri reali o complessi. Una s. si dice a termini positivi se tutti i suoi termini sono positivi; una s. a termini positivi è sempre convergente o divergente, cioè non può essere indeterminata. Una s. Σ_n a_n a termini qualunque (reali o complessi) si dice assolutamente convergente se è convergente la s. dei moduli dei suoi termini, cioè la s. Σ_n |a_n|; una s. assolutamente convergente è anche convergente, mentre non vale il viceversa. Una s. convergente, ma non assolutamente, si dice semplicemente convergente. Una s. si dice incondizionatamente convergente quando, cambiando l'ordine dei termini, la s. rimane sempre convergente e il valore della sua somma resta invariato; la convergenza assoluta di una s. è condizione necessaria e sufficiente per la convergenza incondizionata. Particolari criteri permettono di riconoscere se una s. converge o diverge; ricordiamo di seguito i principi, validi solo per s. a termini reali. Criterio di Cauchy: condizione necessaria e sufficiente affinché una s. sia convergente è che per ogni numero ε positivo esista un indice ν, dipendente da ε, tale che per ogni n>m>ν sia |s_n - s_m|<ε. Tale criterio implica che condizione necessaria per la convergenza di una s. è la convergenza del suo termine generale a_n a 0, per n → ∞. Criterio della radice:

se

la s. converge, mentre diverge se



Criterio del rapporto: se il rapporto a_n+1/a_n ammette limite minore di 1 per n → ∞, la s. converge, mentre diverge se il limite di a_n+1/a_n per n → ∞ è maggiore di 1. Criterio del confronto: se i termini di una s. sono definitivamente minori dei termini di una s. convergente, la s. converge, mentre diverge, se sono definitivamente maggiori dei termini di una s. divergente. Criterio di Abel: siano date due s., di termini generali a_n e b_n. Se b_n → a 0 per n → ∞ in modo decrescente, e se la successione delle somme parziali associata a Σ a_n è limitata, la s. Σ a_nb_n converge. Una volta stabilito il carattere di una s., si pone il problema di estendere le operazioni dell'aritmetica alle s., e di studiarne le proprietà. Date due s. di termini generali a_n e b_n, si definisce somma delle s. termine a termine la s. il cui termine generale è (a_n+b_n), e analogamente si definisce la s. differenza; se le due s. di partenza sono convergenti, lo sono anche la somma e la differenza. Si definisce, invece, s. prodotto secondo Cauchy la s. il cui termine generale c_n è dato da c_n = a₀b_n + a₁b_n-1 + a₂b_n-2 + ...+ a_nb₀; in generale non è vero che il prodotto secondo Cauchy di due s. convergenti sia convergente, mentre è vero se almeno una delle due s. converge incondizionatamente. Classici esempi di s. numeriche sono: s. armonica, Σ_n1/n, divergente anche se il termine generale tende a 0 per n → ∞; s. fattoriale, Σ_n1/n!, che converge al numero e (numero di Nepero); s. geometrica, Σ_nqⁿ, che è convergente a 1/(1-q) se |q|<1, diverge se |q|>1 o se q=1, mentre è indeterminata se |q| =1 e q>1. Accanto alla nozione classica di s. numerica possono essere introdotte numerose estensioni, che permettono di studiare, in modo opportuno, s. non definite o divergenti: è il caso delle nozioni di convergenza secondo Cesaro e secondo Abel, della nozione di s. bilatera, nella quale si studia la somma di due successioni, a₀, a₁, a₂, ... e a_-1, a_-2, a_-3, ..., della nozione di s. doppia, e, più in generale, di s. multipla, nelle quali ciascun elemento è, a sua volta, la somma di una s. opportuna. ║ S. di funzioni: s., indicata con il simbolo Σ_n f_n(x), i cui elementi sono funzioni f₁(x),.f₂(x), ...f_n(x), ... a valori reali o complessi, definite in uno stesso insieme. Una s. di funzioni si dice semplicemente convergente, assolutamente convergente, divergente o indeterminata in un punto x₀ se tale è la s. Σ_n f_n(x₀); si dice intervallo di convergenza l'insieme dei valori di x per i quali la s. converge. La funzione S(x) che associa a ogni valore x nell'intervallo di convergenza il valore della s., si dice somma della s. Una s. si dice uniformemente convergente in un intervallo (a, b) se per ogni ε positivo esiste un indice ν tale che per ogni n > m > ν e per ogni x nell'intervallo (a, b) si ha |s_n(x) - s_m(x)|<ε, dove s_n(x) indica la somma parziale n-esima associata alla s. L'uniforme convergenza di una s. è ipotesi fondamentale in numerosi teoremi sul calcolo differenziale: in particolare, se una s. di funzioni continue è uniformemente convergente, la somma della s. è una funzione continua, mentre se le funzioni sono integrabili, la somma della s. è integrabile, e l'integrale della somma è uguale alla somma della s. degli integrali. Tra i numerosi esempi di s. di funzioni, citiamo la s. esponenziale, e^x = Σ_n xⁿ/n!, che converge su tutto il piano complesso. ║ S. di Fourier: per una funzione reale f(x), s. trigonometrica a₀/2 + Σ_n(a_ncosnx + b_nsennx), dove i coefficienti a_n e b_n, detti coefficienti di Fourier, sono definiti dagli integrali



Sotto ipotesi molto generali è possibile dimostrare che la s. di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π converge alla funzione stessa, nei suoi punti di continuità; è possibile, tuttavia, approssimare tramite s. di Fourier anche funzioni non periodiche generalmente continue, purché siano integrabili su tutto l'asse reale. Lo sviluppo di una funzione in s. di Fourier trova notevoli applicazioni nelle equazioni differenziali ed è alla base dello studio dei fenomeni acustici. ║ S. di Mac Laurin: s. di Taylor di una funzione quando il punto iniziale è l'origine del sistema di riferimento. ║ S. di potenze: s. del tipo Σ_n a_n (z - z₀)ⁿ, dove z è una variabile complessa o reale; z₀ si dice punto iniziale e le costanti a₀, a₁, a₂, ..., si chiamano coefficienti della s. di potenze. Una s. di potenze è sempre convergente in un cerchio del piano complesso, detto cerchio di convergenza, di centro z₀ e raggio r, detto raggio di convergenza (se r = 0 il cerchio si riduce al solo punto iniziale); all'interno di tale cerchio la s. converge, all'esterno diverge, mentre non si può affermare nulla, in generale, sul comportamento alla frontiera. ║ S. di Taylor: per una funzione di variabile reale o complessa derivabile infinite volte in un punto x₀, s. di potenze del tipo Σ_na_n(x - x₀)ⁿ, dove a_n= f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!. Se tale s. converge in un intorno del punto x₀ la funzione f si dice sviluppabile in s. di Taylor o analitica in tale intorno. Se la funzione è a variabile complessa, la sviluppabilità in un cerchio C di centro x₀ è equivalente all'olomorfia nei punti interni di C (ossia, è equivalente alla derivabilità in campo complesso della f(x) in C). ║ S. trigonometrica: s. del tipo a₀/2 + Σ_n(a_ncosnx + b_nsennx), dove x è una variabile reale e a_n, b_n sono coefficienti reali. Le somme parziali di una s. trigonometrica vengono dette polinomi trigonometrici. • Geom. - S. lineare: data una curva algebrica piana C e un sistema lineare Σ di curve algebriche nello stesso piano di C, che non contengano tutte come loro parte la curva C, insieme costituito dai gruppi di n punti determinati dall'intersezione di ciascuna curva del sistema Σ con la curva C. Se il sistema lineare ha dimensione R, è possibile dimostrare che le ∞^R curve di Σ intersecano su C ∞^r gruppi di n punti: pertanto la s. lineare si indica con il simbolo g^r_n, dove n si dice ordine e r si dice dimensione della s. lineare. ║ S. d'equivalenza: insieme costituito da infiniti gruppi di punti sopra una varietà invariante rispetto alle trasformazioni birazionali. Il concetto di s. d'equivalenza sopra una varietà è una generalizzazione del concetto di s. lineare sopra una curva. • Sport - Ciascuno dei raggruppamenti in cui vengono suddivisi, secondo il valore delle prestazioni, atleti o squadre. ║ Nella ginnastica, l'insieme di più gruppi di esercizi. ║ Nella motonautica, l'insieme della suddivisione per classi della stessa categoria di imbarcazioni disciplinate dai regolamenti nazionali o internazionali. ║ Nel pugilato, la suddivisione dei pugili professionisti e dilettanti a seconda del loro valore. Sempre nel pugilato, sequenza di pugni che raggiungono il bersaglio. • Stat. - S. statistica: successione di dati statistici che si differenziano in base alle modalità di un determinato carattere qualitativo. ║ S. rettilinea: s. ordinata nella quale le modalità qualitative presentano due estremi. ║ S. sconnessa: s. le cui modalità qualitative possono disporsi secondo un ordine qualsiasi. ║ S. storica: successione ordinata di dati statistici, detti elementi della s., relativi a un carattere qualitativo x_t, dove t è un indice temporale che ordina cronologicamente i diversi elementi. Se l'indice t assume valori interi, la s. si dice discreta, se, invece, assume valori reali in un dato intervallo, la s. si dice continua; una s. discreta i cui elementi sono determinati per accumulazione di dati nel tempo (come il numero di nascite in un mese) prende il nome di s. di densità. Una fondamentale classificazione delle s. storiche si basa sul carattere di stazionarietà: una s. si dice stazionaria se il valore medio e la varianza sono indipendenti dal tempo, e la covarianza tra la s. e la s. traslata di un ritardo T è una funzione, detta funzione di autocovarianza, che dipende solo da T e non dal tempo. Supponendo che ogni s. storica sia parte di un insieme infinito di elementi ordinati, è possibile dimostrare che ogni s. storica è la somma di infinite componenti cicliche di periodo costante e ampiezza aleatoria; per le s. stazionarie, in particolare, è possibile dimostrare che la trasformata di Fourier della funzione di autocovarianza fornisce la funzione di densità spettrale, da cui è possibile capire come si ripartisce la varianza della s. storica nelle sue componenti cicliche (analisi spettrale). Molte delle s. storiche studiate nella tecnologia e nella fisica sono stazionarie, mentre non lo sono le s. economiche; queste ultime, tuttavia, possono essere rappresentate secondo un modello additivo, che consente, mediante una opportuna analisi spettrale, di individuare le caratteristiche cicliche della s. stessa.