Combinatòrio.

Che è fondato su combinazioni. • Filos. - Arte c.: scienza pensata nel Medioevo da Raimondo Lullo e ripresa in età moderna dal Leibniz, con la quale si intendevano realizzare tutte le combinazioni possibili sia di tipo numerico sia di tipo concettuale, allo scopo di ottenere un sistema sicuro di ragionamento, capace di schematizzare ogni tipo di esperienza. • Ling. - Metodo c.: metodo di interpretazione di un testo o di un gruppo di testi, che consiste nel mettere a confronto tutti i contesti in cui ogni termine ricorre, cercando così di stabilirne il significato. • Mat. - Analisi c. (detta anche calcolo c.): studio degli insiemi di oggetti (in numero finito) e delle proprietà dei loro raggruppamenti. Fra questi vediamo i più importanti. Siano assegnati m oggetti fra loro diversi. Si dice permutazione di tali oggetti ognuno dei raggruppamenti che si possono ottenere mettendoli uno dopo l'altro in ordine lineare aperto, in modo che ogni gruppo differisca dall'altro per la posizione di almeno un oggetto. Il numero delle permutazioni ottenibili con tali m numeri è dato da m! (m fattoriale); simbolicamente scriviamo:

P_m = m! = m

Se invece gli m oggetti non sono fra loro tutti diversi, essi si potranno raggruppare in k classi (delle quali la prima ne conterrà n₁, la seconda n₂, ecc.) in modo che ogni classe contenga elementi uguali fra loro e diversi da quelli delle altre classi. Allora il numero delle possibili permutazioni diventa:

P_m = m!/ (n₁! n₂! n_k!)

Se invece, assegnati m oggetti fra loro diversi ne prendiamo n alla volta (n m) e ne facciamo le possibili permutazioni, otteniamo le disposizioni semplici di m oggetti presi ad n per volta. Il numero di queste è dato dal prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da m. Simbolicamente:

D_m,n = m (m - 1) (m - 2) ..... (m - n + 1)

Come esempio, vediamo che le disposizioni di 3 oggetti (che diremo a, b, e c) a due a due sono 3 · 2 = 6 e precisamente: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Assegnati gli stessi m oggetti di cui sopra, fra loro diversi, formiamone dei raggruppamenti sempre di n (n > m), ma considerando distinti due raggruppamenti solo se hanno almeno un elemento diverso, senza tener conto cioè dell'ordine degli elementi. Costruiamo così le combinazioni semplici di m oggetti presi ad n per volta, il cui numero è dato da una frazione con numeratore D_m,n, e denominatore P_n. Simbolicamente:

C_m,n =

Tale frazione si indica simbolicamente con () che si legge m su n e si chiama coefficiente binomiale, perché tali espressioni compaiono appunto come coefficienti dei vari termini nello sviluppo del binomio tipo (x + y)ⁿ ove n è un qualsiasi numero intero positivo. Nel caso dei tre oggetti di cui sopra le possibili combinazioni sono solo tre: ab, ac, bc. Ricordiamo inoltre la proprietà dei coefficienti binominali:



Si voglia risolvere un problema del tipo: quanti sono gli ambi, i terni e le quaterne che si possono fare con 5 numeri diversi (ad esempio come quelli delle estrazioni del lotto). Gli ambi sono 5 · 4/2 = 10; i terni sono 5 · 4 · 3/2 · 3 = 10 (il risultato è uguale al numero degli ambi per la proprietà sopra ricordata); il numero delle quaterne è 5 · 4 · 3 · 2/2 · 3 · 4 = 5. Infine ricordiamo che il numero delle combinazioni di m oggetti presi ad ne per volta con ripetizione è dato da: . Va tenuto presente che nei calcoli si pone convenzionalmente O! = 1, () = 1, e anche () = 1. Si noti inoltre che il valore di n! cresce rapidamente col valore di n; infatti è: 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 10! = 3.628.800.