Aritmètica.

Parte della matematica concernente lo studio dei numeri, soprattutto interi naturali, e le operazioni su di essi. I primi teorici dell'a. furono i pitagorici: a essi infatti si deve la distinzione fra numeri pari e dispari, tra numeri primi e composti, l'introduzione dei numeri amicabili e dei numeri perfetti. I pitagorici compirono inoltre alcuni studi sulle proporzioni fra grandezze commensurabili. Successivamente Eudosso di Cnido estese la teoria delle proporzioni alle grandezze incommensurabili. L. Pisano, dopo la diffusione della numerazione araba in Europa, diede un sostanziale contributo all'a. con il suo Liber abaci del 1202. Fra i matematici che segnarono delle tappe fondamentali vanno menzionati Napier, che introdusse i logaritmi; B. Pascal e P. de Fermat che iniziarono a studiare una serie di proprietà non strettamente legate alle esigenze pratiche del calcolo, gettando le basi per un nuovo ramo della scienza matematica, la teoria dei numeri. ║ A. elementare: si fonda sulle quattro operazioni, l'addizione e la moltiplicazione, che sono definite dirette; la sottrazione e la divisione, che sono definite inverse. L'addizione risolve il problema di trovare il numero c = a + b, essendo dati i due numeri a e b; il problema inverso di trovare un numero b che, addizionato ad a, dia come risultato c, essendo noti a e c, definisce l'operazione di sottrazione; però, restando nel caso dell'a. elementare, vi sono soluzioni solo se c > a. Per poter risolvere questo problema senza alcuna limitazione, bisogna passare al campo dei numeri interi relativi, razionali e irrazionali. La moltiplicazione di due numeri dati a e b si può definire come la somma di tanti numeri, tutti uguali ad a, quante sono le unità contenute in b. La divisione è l'operazione inversa alla moltiplicazione. Vi sono poi altre operazioni e cioè: l'elevamento alla potenza ennesima del numero a, e la sua inversa che è l'estrazione della radice ennesima aritmetica di a. L'a. comprende quindi le quattro operazioni elementari sui numeri interi, proporzioni e frazioni, estrazione di radice ed elevamento a potenza, logaritmi e numeri irrazionali. ║ A. razionale: complesso delle dimostrazioni per mezzo delle quali è possibile dedurre talune proprietà formali, o taluni risultati, da precedenti proprietà, per via puramente logica, senza far ricorso all'intuizione. In questo modo, ad esempio, sarà possibile dimostrare le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione a partire dalle analoghe proprietà valide per l'addizione. ║ A. politica: espressione usata da W. Petty (1690) per indicare l'analisi economica. Consisteva sostanzialmente nell'indagine dei fenomeni relativi alla popolazione, attuata per la prima volta in forma sistematica mediante il metodo sperimentale e con il ricorso al calcolo aritmetico. Da essa ebbero origine la statistica e la demografia.