Algebra.

(dall'arabo al-giabr: restaurazione, riduzione). Ramo della matematica che prende in considerazione insiemi di oggetti, nei quali vengono definite formalmente determinate operazioni che sono eseguite sugli oggetti stessi. Spesso si distingue una a. elementare o classica, da un'a. moderna o astratta. In realtà, una simile distinzione si giustifica esclusivamente per motivi storici, poiché la prima è una particolare esemplificazione dei risultati ottenuti dalla seconda. Va inoltre considerato che molti concetti e tecniche dell'a. moderna si sono sviluppati come problemi sorti storicamente in seno all'a. classica. ║ A. classica: studia le operazioni proprie del calcolo letterale e in particolare la teoria delle equazioni o sistemi di equazioni con una o più incognite. L'a. nacque originariamente in Egitto con l'intento di facilitare la soluzione di problemi contenenti elementi incogniti. Oltre agli Egiziani anche i Babilonesi e i Greci si occuparono di problemi algebrici, non arrivando tuttavia a trovare una soluzione generale delle equazioni di secondo grado. Tra il IX e il X sec., gli Arabi raccolsero l'eredità dei matematici greci sviluppando contemporaneamente l'interesse per la matematica applicata e preoccupandosi del calcolo effettivo. Il loro contributo originale consiste nell'elaborazione di quel complesso di regole e operazioni che stanno alla base dell'a. elementare. L'a. araba fu introdotta in Europa verso il XIII sec., grazie soprattutto all'opera di Leonardo Fibonacci da Pisa (Liber abaci, 1202), suscitando un notevole interesse, poiché consentiva di risolvere con rapidità e semplicità una serie di problemi pratici, legati soprattutto alle attività commerciali. Ebbe così origine una vera e propria scuola italiana, che si affermò nel Rinascimento, prefiggendosi di ordinare in modo razionale la teoria algebrica fino ad allora acquisita. Un'opera fondamentale di questo periodo è la Summa de arithmetica, scritta nel 1487 da Luca Pacioli. I successi dei matematici italiani (in particolare per ciò che riguarda la formula risolutiva generale delle equazioni di terzo e quarto grado) furono proseguiti dai francesi, culminando con l'opera di Viète e con quella di Cartesio (1636). A questi due studiosi si deve l'algebrizzazione della geometria che portò in seguito alla nascita della geometria analitica. Dopo un periodo di stasi, l'a. tornò alla ribalta con i grandi matematici del XVIII sec., da L. Euler, a J. d'Alembert, da I.L. Lagrange, a S. Laplace e a C.F. Gauss. A Gauss, in particolare, si deve la prima dimostrazione rigorosa del teorema fondamentale dell'a., secondo il quale ogni equazione di grado n ha n soluzioni uguali o distinte (1799). Il teorema di Ruffini-Abel (1799-1826) dimostrò invece l'impossibilità di generalizzare il risultato relativo alle equazioni di secondo, terzo e quarto grado e di indicare una formula generale per il calcolo della soluzione di equazioni oltre il quarto grado a partire dai coefficienti e utilizzando le quattro operazioni e l'estrazione di radice. Nel XIX sec., i matematici presero in considerazione nuovi tipi di insiemi non più costituiti da numeri, bensì da altre entità matematiche (omografie, matrici, simmetrie e così via), con operazioni analoghe a quelle valide per i campi numerici classici. Questi nuovi orientamenti nello studio dell'a. stanno alla base dell'a. moderna. ║ A. moderna: si occupa principalmente delle strutture più semplici, sia di tipo numerico, che di tipo geometrico, nonché di tipo astratto. Alla base di questi nuovi orientamenti si trova la teoria delle sostituzioni, introdotta grazie a matematici quali J.L. Lagrange, A. Vandermonde, K.F. Gauss, P. Ruffini, A.L. Cauchy ed E. Galois. A quest'ultimo, in particolare, si devono, da un lato lo studio dei gruppi di permutazioni associati alle equazioni algebriche, dall'altro l'approfondimento della teoria generale dei gruppi. Su questi concetti, la scuola tedesca (P.G.L. Dirichlet, E.E. Kummer, R. Dedekind e D. Hilbert) elaborò la teoria dei numeri algebrici, per mezzo della quale si giunse ad approfondire tutta una serie di nozioni dell' a. astratta. Lo studio della teoria dei gruppi permise, a sua volta, di definire nozioni quali gruppo astratto, spazio omogeneo, gruppi lineari, gruppi infiniti e così via. Un tentativo per riunire tutti gli sviluppi dell'a. moderna è stato fatto da un gruppo di matematici francesi e americani (sotto lo pseudonimo collettivo di N. Bourbaki) attraverso la monumentale opera Elementi di matematica. Passiamo ora ad analizzare quelle che sono le principali strutture dell'a. moderna. Assegnato un insieme e definita in esso un'operazione (chiamata anche legge di combinazione), l'ente matematico che si ottiene - con le operazioni - viene detto struttura algebrica. Se per esempio si considera un insieme di 3 elementi (indicati dalle lettere a, b, c), in esso viene assegnata una legge di combinazione (contraddistinta dal segno *) mediante la seguente tabella:



Ciò significa che il risultato, ad esempio, dell'operazione a*b, è l'elemento che si trova all'incrocio tra la linea corrispondente ad a e la colonna corrispondente a b; cioè, in questo caso, l'elemento c. Si osservi che non si precisa la natura dell'operazione introdotta: semplicemente, la si considera nota se, presi due elementi qualsiasi, si conosce sempre il risultato dell'operazione eseguita su di essi. Quindi si esamina la struttura ponendosi due problemi relativi all'individuazione, in primo luogo, delle proprietà dell'operazione che sono rispettate da qualsiasi coppia di elementi e, in secondo luogo, di quelle che eventualmente valgono per singoli elementi. Nel nostro esempio: a*b b*a, a*c c*a, b*c c*b (cambiando l'ordine degli elementi, non cambia il risultato: proprietà commutativa); a*c b*c c*c c (con qualsiasi elemento si componga *c il risultato è sempre c: si dice che l'elemento c è l'elemento permesso). Le conclusioni a cui si perviene si estendono automaticamente a tutte le strutture equivalenti (o, per indicare il termine più appropriato, isomorfe). Ad esempio, scegliendo come operazione la ricerca del minimo comune multiplo (m.c.m.) per l'insieme costituito da tre numeri 2, 3, 6, si ottiene la tabella:



È immediato riscontrare la stretta analogia con il caso presentato in precedenza. Ma allora, anche qui avremo un'operazione commutativa e un elemento permesso, il 6. Riassumendo, si può dire che l'oggetto dello studio è costituito da alcuni "tipi standard" di strutture (come per esempio gruppi, anelli, corpi, spazi lineari), le quali presentano proprietà di particolare interesse. Tali proprietà saranno, a loro volta, condivise da tutte le strutture equivalenti che si presentano in concreto. Proprio nella generalità dei risultati così raggiunti consiste l'efficacia della "astrazione" compiuta.