Variazione.

L'atto e l'effetto del cambiare; mutamento che avviene o che esiste in qualche fatto: le v. della Luna. ║ L'effetto del portare qualche cambiamento e la modificazione che ne risulta: introdurre una v. in un programma. • Geogr. - V. glaciali: complesso delle modificazioni subite da una massa glaciale a causa dei mutamenti climatici. ║ Econ. - In contabilità, mutazione, positiva o negativa, del valore attribuito ai beni patrimoniali o al patrimonio in monte, prodotta da fatti amministrativi. Le v. possono essere ulteriormente specificate in: v. di esercizio, determinate dalla gestione di un periodo amministrativo; v. di conto, rilevate in un determinato conto; v. correlative, le mutazioni determinate da un fatto amministrativo; v. percentuale, calcolata attraverso il confronto tra più rapporti, in cui la grandezza scelta come base di riferimento assume un valore pari a 100; ecc. • Mat. - Calcolo delle v.: ramo dell'analisi matematica che studia i problemi di massimo e minimo di un insieme di elementi, in genere funzioni, considerati come punti di un opportuno spazio metrico. Storicamente, il primo problema che portò allo studio del calcolo delle v. fu proposto da I. Newton nel 1686: determinare la forma di un solido di rotazione avente volume e lunghezza del profilo assegnati, in modo che la resistenza da esso incontrata durante il suo moto sia minima. Tale problema può essere tradotto, matematicamente, in uno dei più semplici quesiti del calcolo delle v.: trovare una funzione y(x) che renda minimo un integrale della forma



dove f è una funzione continua in un opportuno sottoinsieme dello spazio tridimensionale e y' indica la derivata di y. La soluzione a tale problema, trovata per la prima volta da L. Eulero nel 1744 e, 15 anni più tardi, da G. Lagrange, si basa sul concetto di v. prima di un funzionale, molto simile al concetto di differenziale di una funzione. Detta y(x) la soluzione, definita nell'intervallo [x₀, x₁], si considera una funzione η(x) definita sullo stesso intervallo, continua, avente derivata seconda continua e nulla agli estremi; si considera poi la funzione y(x) + ε · η(x), dove ε è un parametro arbitrariamente piccolo. La quantità ε · η(x) viene detta v. prima della funzione y(x); l'integrale I, calcolato in ε · η(x), può essere considerato come una funzione della sola ε, e deve, quindi, avere un minimo per ε = 0. Ciò vuol dire che deve essere nulla la v. prima del funzionale,



Tale equazione, sotto opportune ipotesi di regolarità, conduce all'equazione differenziale di Eulero del secondo ordine,



dove f_y e f_y' indicano, rispettivamente, le derivate parziali di f rispetto alle funzioni y e y', considerate come variabili; il primo membro di questa equazione prende il nome di derivata variazionale di f rispetto a y, mentre una qualsiasi soluzione y prende il nome di curva di stazionarietà. Tale metodo può essere generalizzato in più modi: ad esempio, considerando estremi a e b variabili, assumendo funzioni integrande in più funzioni incognite, ecc. Altri metodi diretti per risolvere problemi di massimo o di minimo di un funzionale consistono nel trasformare tale problema in uno equivalente di estremale di una funzione in più variabili. Nel metodo di Eulero si sostituisce alla y(x), nella funzione integranda f, una sua poligonale calcolata su una partizione dell'intervallo (a, b), e alla derivata y' il rapporto incrementale su ciascun sottointervallo della partizione; tale metodo conduce a numerosi calcoli e ha avuto molte estensioni solo con l'avvento dei calcolatori. Nel metodo di Ritz, invece, la funzione y viene supposta combinazione lineare di un numero finito di funzioni assegnate: il problema di minimo o di massimo, pertanto, viene ricondotto al problema della determinazione dei coefficienti di tale combinazione. Il calcolo delle v. ha avuto notevole sviluppo a causa delle numerose applicazioni fisiche ad esso connesse: molte questioni fisiche e meccaniche, infatti, si traducono in problemi di minimo o di stazionarietà, e conducono ai cosiddetti principi variazionali, come il principio di Hamilton. Notevoli impulsi vennero dati da Volterra, C. Arzelà, D. Hilbert, B. Levi, G. Fubini, H.-L. Lebesgue, e soprattutto da L. Tonelli. Nella seconda metà del XX sec. si è poi avuto lo sviluppo del cosiddetto calcolo delle v. in grande, che si occupa di problemi anche topologici connessi all'esistenza e al numero delle funzioni estremali su una varietà mediante lo studio dei punti critici; tale ramo dell'analisi, pertanto, si basa su metodi propri dell'omologia e della teoria dei punti critici. ║ Funzione a v. limitata: funzione reale f a variabile reale x, definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b], tale che la somma



sia limitata da uno stesso numero M, per ogni partizione a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. L'estremo superiore di tale somma prende il nome di v. totale di f su [a, b]. Si dimostra che ogni funzione a v. limitata è data dalla differenza di due funzioni monotone crescenti. • Mus. - Modificazione ritmica, melodica o armonica di un tema musicale che rimane però inalterato nella sua essenza; successione di brani musicali elaborati su un tema comune. L'aspetto melodico può essere variato in più modi: presentando la melodia per moto contrario, in senso retrogrado, interpolando tra le sue note, sostituendo alcune note non essenziali, ecc. L'aspetto ritmico può essere variato alterando i valori di durata delle note; l'aspetto armonico, infine, può essere modificato mutando la funzione tonale delle note, oppure arricchendo o disponendo in modo diverso l'accordo. Una v. può essere ottenuta anche mutando l'aspetto contrappuntistico o timbrico, modificando la scrittura musicale o combinando insieme due o più procedimenti già esposti.