Mat. - In geometria, si dice di due enti che formano tra loro un angolo retto;
è sinonimo di
perpendicolare. Si definiscono
o. due rette
appartenenti a uno stesso piano le cui direzioni formano un angolo retto; nello
spazio, una retta e un piano che si intersechino si dicono
o. quando la
prima è perpendicolare a tutte le rette del secondo, passanti per il
punto di intersezione. Definito l'angolo diedro come ciascuna delle due parti
nelle quali lo spazio viene diviso da due semipiani aventi la stessa origine,
due piani si dicono
o. quando formano angoli diedri retti; infine, due
rette nello spazio si dicono
o. se esiste un piano passante per una di
esse e perpendicolare all'altra. In geometria proiettiva, facendo riferimento ai
punti impropri delle rette, ovvero alle loro direzioni, e alle rette improprie
dei piani, ovvero alla loro giacitura, si parla di direzioni
o. e di
giaciture
o. ║ La nozione di
o. si estende in modo naturale
agli spazi euclidei di dimensione qualsiasi, finita o infinita: così, una
retta si dice
o. a un iperpiano se è incidente all'iperpiano ed
è perpendicolare ad ogni sua retta passante per il punto di incidenza;
due rette si dicono
o. se esiste un iperpiano passante per una di esse e
o. all'altra. Due linee si dicono
o. in un punto se le loro
tangenti in quel punto sono perpendicolari; in modo analogo, due superfici si
dicono
o. in un punto se i rispettivi piani tangenti sono perpendicolari.
║ Come ulteriore estensione, consideriamo il caso di uno spazio vettoriale
V dotato di prodotto scalare (
spazio prehilbertiano) e, in
particolare, il caso degli
spazi di Hilbert (spazi prehilbertiani
completi), immediata estensione di quelli euclidei: due elementi
u, v si
dicono
o. se è nullo il loro prodotto scalare, cioè se
(
u, v) = 0; un elemento
u si dice
o. a un sottoinsieme
M di
V se (
u, m) = 0 per ogni
m in
M. In
maniera analoga, si definiscono le nozioni di
o. tra sottospazi, e di
sottospazio
o. a un insieme dato. ║
Assi cartesiani o.:
sistema di rette orientate passanti per un medesimo punto O e mutuamente
perpendicolari, su ciascuna delle quali è adottato un sistema di
coordinate ascisse per l'individuazione dei punti di un piano o dello spazio.
║
Condizione di ortogonalità: condizioni analitiche che
traducono la proprietà geometrica di
o. Ad esempio, dato un
sistema di assi cartesiani
o. nel piano, due rette di equazioni
ax +
by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0 sono
o. se e solo se
aa' + bb' =
0; se le loro equazioni sono date nella forma
y = mx + n, y = m'x +
n' la condizione di ortogonalità diventa
mm' + 1 = 0.
Condizioni analoghe vengono date per l'
o. fra piani, fra retta e piano e
fra rette nello spazio munito di una terna di assi cartesiani. ║
Vettori o.: vettori che individuano rette perpendicolari. Con riferimento
alle condizioni analitiche di ortogonalità, due vettori
u, v a
componenti reali si dicono
o. se e solo se il loro prodotto scalare
è nullo, cioè
u1v1 +
u2v2 + ... + unvn = 0. ║
Matrice o.: matrice quadrata i cui elementi
aij
soddisfano le relazioni
a21j +
a22j + ..... +
a2nj =
1;
a1i a1j +
a2i a2j + ..... +
ani
anj = 0 con
i, j = 1, 2, .....,
n ed
i ≠
j.
Una matrice di questo tipo
viene detta
o. perché le sue righe e, rispettivamente, le sue
colonne, sono vettori di norma unitaria, a due a due
o. ║
Funzioni o.: si dicono
o. due funzioni di variabile reale
f(x) e
g(x), definite su uno stesso intervallo (a, b), se in tale
intervallo si ha
.Tale
integrale può essere interpretato come il prodotto scalare tra elementi
di uno spazio funzionale hilbertiano, lo spazio
L(a, b): pertanto, la
nozione di ortogonalità tra funzioni coincide con quella già data
negli spazi muniti di prodotto scalare.