Δω -
dove Δ indica l'operatore laplaciano, ω è la grandezza fisica che si propaga, u è la velocità di propagazione. Nel caso unidimensionale, corrispondente, ad esempio, alle vibrazioni di una corda tesa, la soluzione dell'equazione è particolarmente facile; anzitutto, si osserva che, detta f(z) una generica funzione derivabile nella variabile z, le funzioni f(x - ut) e f(x + ut) sono soluzioni dell'equazione data. Fisicamente, la prima soluzione descrive una perturbazione che trasla rigidamente, con velocità u, lungo l'asse x positivo, e viene pertanto detta o. progressiva; analogamente, la seconda soluzione descrive una perturbazione che trasla lungo l'asse x negativo, e viene pertanto detta o. regressiva. La soluzione generale dell'equazione di d'Alambert si ottiene mediante combinazione lineare delle due soluzioni particolari trovate, data la linearità dell'equazione, ottenendo:
Af(x - u t) + Bf(x + u t)
dove le costanti A e B vanno determinate in base al particolare problema in esame; ciò significa che la generica o. unidimensionale è data dalla sovrapposizione di due o., una progressiva e l'altra regressiva. Nel caso particolare in cui la funzione f(z) sia sinusoidale, cioè f(z) = a sen(kz) + b cos(kz), la soluzione che si ottiene è periodica rispetto al tempo, con periodo T = 2π/(k u); in tal caso, lo spostamento subito dalla perturbazione in un periodo, pari a λ = uT, viene detto lunghezza d'o. Come ultimo esempio particolarmente significativo, consideriamo il caso di una corda di lunghezza l, fissata ai due estremi (ad esempio, in uno strumento musicale); le condizioni al contorno imposte danno luogo alla presenza simultanea di o. progressive e regressive sulla corda, a causa delle riflessioni che avvengono alle estremità, ed il moto che ne risulta ha caratteristiche diverse da quelle appena esaminate. La soluzione generale è data dalla sovrapposizione di infinite o. del tipo
yn = sen
ciascuna delle quali viene detta n-esima armonica. Come si osserva, la lunghezza d'o. non può essere qualsiasi, ma deve appartenere all'insieme dei valori λ = 2l/n, con n intero; inoltre, a differenza di quanto accade nelle o. progressive e regressive, esistono punti sulla corda, detti nodi, in cui la vibrazione è nulla, e punti in cui l'oscillazione è massima, detti ventri. I coefficienti An e Bn possono essere determinati mediante le condizioni imposte all'istante iniziale, solitamente t = 0, e sono, in generale, funzioni rapidamente decrescenti rispetto all'indice n; ciò significa che, nel caso di una corda musicale, solo le prime armoniche sono apprezzabili all'udito. Per le o. in due o tre dimensioni, la soluzione generale dell'equazione di d'Alambert è meno semplice, poiché la propagazione è spesso accompagnata da fenomeni di dispersione. Come nel caso unidimensionale, sono particolarmente importanti quelle o. in cui la perturbazione che si propaga ha carattere oscillante; in tal caso, è possibile decomporre facilmente la perturbazione in sovrapposizione di o. piane monocromatiche, ovvero o. descritte da una funzione sinusoidale con una particolare frequenza. Tutti i tipi di propagazione ondosa possono dar luogo, in opportune condizioni, a fenomeni di riflessione, rifrazione, interferenza e diffrazione. ║ O. elastiche: propagazione, in un mezzo elastico, della deformazione prodotta ad un istante iniziale. Le deformazioni di un mezzo elastico possono essere descritte mediante la sovrapposizione di due campi vettoriali, che fornisce, in ogni istante, il valore dello spostamento del generico punto dalla sua posizione di equilibrio; il primo campo, S1, è irrotazionale, cioè rot S1 = 0, mentre il secondo campo, S2, è solenoidale, cioè div S2 = 0. Entrambi i campi soddisfano l'equazione di d'Alambert, e descrivono, quindi, fenomeni di propagazione ondosa; le loro caratteristiche sono, tuttavia, diverse. Il campo irrotazionale dà origine a o. longitudinali, dette o. irrotazionali di compressione o di dilatazione, mentre il campo solenoidale dà origine ad o. trasversali, dette o. rotazionali o di distorsione; le velocità di propagazione sono diverse, e la velocità dell'o. trasversale è sempre minore rispetto a quella dell'o. longitudinale. Si osservi che le o. di distorsione possono aver luogo solo in mezzi incompressibili, in quanto solo in questo caso esistono delle deformazioni solenoidali; nei gas, al contrario, non possono propagarsi o. rotazionali. Un esempio di propagazione ondosa in un mezzo elastico è data dalle o. sismiche della crosta terrestre; quando le deformazioni elastiche sono molto grandi, tuttavia, la propagazione non è più descritta esattamente dall'equazione di d'Alambert, in quanto compaiono fenomeni non lineari (come, ad esempio, la dipendenza della velocità da fattori non collegati alle caratteristiche del mezzo). ║ O. nei fluidi: i fluidi costituiscono un caso particolare di mezzo elastico in cui può avvenire un fenomeno di propagazione ondosa; tuttavia, oltre alle o. longitudinali e di compressione, sulla superficie di separazione tra un fluido e l'altro (ad esempio, tra acqua e aria) possono propagarsi perturbazioni aventi una struttura particolarmente complicata, dette onde superficiali. La propagazione di tali o. sul pelo libero dei liquidi è dovuta principalmente a due cause: la forza di gravità e la tensione superficiale. Ogni deformazione della superficie di equilibrio, infatti, è seguita da una forza di richiamo, dovuta all'azione della gravità, di intensità proporzionale alla massa del liquido spostato; sulla superficie di acque molto profonde, la traiettoria di una particella investita da un'o. di gravità è approssimativamente una circonferenza, con diametro che decresce con la profondità (o. trocoidale di Gerstner). Quando l'acqua non è sufficientemente profonda, invece, la particella assume una traiettoria ellittica con asse maggiore parallelo alla superficie libera (o. di Airy). La velocità di propagazione è direttamente proporzionale alla lunghezza d'o.; quando tale lunghezza è molto piccola (inferiore a 2 cm), la forza di richiamo dovuta alla gravità diventa trascurabile, e diventa, invece, apprezzabile l'azione della tensione superficiale sul pelo libero del liquido. Le o. così generate sono dette o. capillari, la cui velocità di propagazione è inversamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza d'o. ║ O. elettromagnetiche: o. trasversali determinate dalla propagazione, nel vuoto o in un dielettrico, di campi elettromagnetici variabili nel tempo. Dallo studio delle equazioni fondamentali del campo elettromagnetico, Maxwell dimostrò che le soluzioni di tali equazioni possono venire considerate come rappresentative di o. elettromagnetiche, che si propagano nel vuoto alla velocità della luce; tuttavia, dovettero passare più di vent'anni prima che H. Hertz, nel 1888, potesse stabilire, su una base sperimentale precisa, l'esistenza delle o. elettromagnetiche, e confermare direttamente, con esperienze di laboratorio, le previsioni teoriche di Maxwell. Consideriamo le equazioni di Maxwell per un mezzo omogeneo, privo di cariche elettriche e di correnti localizzate, descritto da una costante dielettrica ε e da una permeabilità magnetica µ:
Dalle prime due equazioni segue che ad un campo elettrico variabile nel tempo è sempre associato un campo magnetico, e, analogamente, ad un campo magnetico variabile nel tempo è sempre associato un campo elettrico. Utilizzando formule di analisi vettoriale, dalle equazioni di Maxwell si ricava:
∇2
= 
che coincide con l'equazione di d'Alambert, dove
v =
è la velocità di propagazione dell'o. associata alla perturbazione del campo elettrico. Un'equazione analoga si ottiene per il campo magnetico. Nel caso particolare in cui sia
sia 
siano funzioni solo di x e di
t, e non dipendano da y e da z, la soluzione delle
equazioni di Maxwell rappresenta un'o. elettromagnetica piana
trasversale, perpendicolare all'asse x; in tal caso, si dice che
l'o. è polarizzata linearmente, ovvero il campo elettrico,
in ogni punto dello spazio, varia nel tempo, mantenendosi parallelo ad una
stessa direzione. Altri tipi di o. elettromagnetiche piane sono quelle in
cui i campi elettrico e magnetico, pur appartenendo sempre ad un piano
perpendicolare all'asse delle x, non si mantengono paralleli a se stessi:
se il vettore ruota uniformemente nel piano yz
con velocità angolare ω costante, l'o. che ne deriva si dice
polarizzata circolarmente, se ruota, invece, con velocità angolare
non costante in modulo, l'o. si dice polarizzata ellitticamente.
Nel caso generale, in cui i campi elettrico e magnetico dipendano da t e
da tutte le coordinate spaziali, le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono
essere ottenute più facilmente utilizzando sistemi di coordinate non
cartesiane (sferiche o cilindriche); è importante osservare, comunque,
che le equazioni di Maxwell sono lineari, quindi una generica soluzione di
o. elettromagnetica può esprimersi come sovrapposizione di
o. elettromagnetiche propagantesi in ogni direzione dello spazio. Dalle
equazioni di Maxwell nella forma più generale, valida, cioè, per
un mezzo isotropo ed omogeneo, in cui esista una distribuzione di correnti, si
ricava che alle o. elettromagnetiche è associato un fenomeno
dissipativo: la variazione di energia elettromagnetica in una data regione
chiusa dello spazio è pari alla somma dell'energia irradiata e del lavoro
compiuto, sulle cariche presenti nella regione, da parte del campo
elettromagnetico. ║ O. d'urto: o. prodotta da una sorgente
che si muove in un mezzo con velocità superiore alla velocità di
propagazione in quel mezzo. Un esempio è dato dall'o. che si crea
per l'accumularsi delle o. sonore di pressione che ogni oggetto in moto
genera, quando la sua velocità uguaglia o supera quella del suono; l'aria
subisce allora una brusca variazione di pressione e di temperatura su una
superficie in moto con l'oggetto, e l'o. d'urto assume la forma di un
cono di rivoluzione, con vertice nell'oggetto stesso (se di dimensioni
trascurabili). Le basi per la teoria delle o. d'urto sono state poste da
B. Riemann e da H. Hugoniot, che hanno descritto tali o. come una
discontinuità di pressione: grazie a questa ipotesi si spiega
l'innalzamento immediato della pressione e della temperatura al passaggio
dell'o.. In realtà non si verifica una discontinuità
notevole: esiste una zona di transizione di spessore ridottissimo, dell'ordine
di un millesimo di mm, nella quale si producono gli sbalzi di pressione e di
temperatura, ed è questo il motivo degli effetti distruttivi connessi ad
o. d'urto intense, come quelle prodotte dalla detonazione degli
esplosivi. Le o. d'urto provocano un'ulteriore resistenza all'avanzamento
nel mezzo, e sono la causa della detonazione provocata dagli aerei supersonici;
negli aerei, inoltre, le o. d'urto appaiono anche a velocità
notevolmente inferiori rispetto a quella del suono, a causa della presenza di
superfici che sono sede di supervelocità locali, come l'extradosso
dell'ala. ║ O. hertziane: parte della radiazione elettromagnetica
avente la lunghezza d'o. maggiore del centimetro. Le o. hertziane
vengono prodotte mediante apparecchiature elettroniche e sono utilizzate nelle
telecomunicazioni. Prodotte in laboratorio nel 1887 da H. Hertz, donde il nome.
● Geofis. - O. sismiche: vibrazioni dei materiali componenti la
crosta terrestre, originate da una perturbazione sotterranea che si produce in
un punto chiamato ipocentro, cui corrisponde in superficie l'epicentro.
║ O. sismiche primarie o longitudinali: o. sismiche
le cui vibrazioni sono parallele alla direzione della propagazione; vengono
dette primarie perché sono le prime ad essere registrate, avendo una
velocità di propagazione più elevata, circa 5,5 km/sec. Si
originano all'ipocentro. ║ O. sismiche principali o lunghe:
o. sismiche superficiali avvertite come terremoto. Partono dall'epicentro
in coincidenza con l'arrivo delle o. prime e delle o. seconde e si
propagano ad anelli concentrici, con una velocità di circa 3,5 km/sec.
║ O. sismiche secondarie o trasversali: o. sismiche
le cui vibrazioni sono perpendicolari alla direzione della propagazione. Esse si
originano all'ipocentro e non attraversano il nucleo terrestre; hanno
velocità inferiore a quella delle o. longitudinali, pari a circa
4,4 km/sec. ● Geogr. fis. - Le o. sono un fenomeno caratteristico
di laghi, mari ed oceani, con proprietà e cause sensibilmente diverse.
Generalmente sono dovute all'azione del vento, che determina una pressione ed un
attrito colpendo la superficie dell'acqua, al fenomeno delle maree e, più
in generale, alle turbolenze che si generano alla superficie di contatto tra
liquidi di densità diversa. Le prime, causate dal vento, sono le
o. in senso stretto: esse non sono dovute a un movimento di traslazione
dell'acqua, ma ad una semplice propagazione del moto. In altri termini, le
particelle d'acqua compiono un moto orbitale intorno ad un asse orizzontale,
esattamente come succede al pendolo che oscilla senza che il suo punto di
sospensione si sposti. Le o. più comuni, quelle marine, sono un
classico esempio di o. causate dal vento; esso, urtando la superficie
liquida, determina un abbassamento dell'acqua colpita, che, essendo a sua volta
elastica e assai poco comprimibile, si innalza ai lati del piccolo avvallamento.
In tal modo si genera un moto oscillatorio che si propaga a grande distanza,
senza provocare, in generale, uno spostamento d'acqua; tuttavia, se il vento
soffia sempre nella stessa direzione, si può determinare un moto
traslatorio dell'acqua, che dà luogo al fenomeno detto flutto
corrente. Per quanto riguarda la terminologia riferita alle o., si
dice montagna d'o. la parte convessa, che si eleva al di sopra della
superficie marina; cresta il punto più elevato dell'o.;
valle d'o. la parte concava, il cui punto più basso viene detto
ventre o gola dell'o.; altezza dell'o. il dislivello fra
una cresta e il ventre successivo; lunghezza dell'o. la distanza che
separa due creste oppure due ventri; velocità di propagazione
dell'o. lo spazio percorso dalla cresta o dal ventre nell'unità di
tempo (si ricordi che non si ha traslazione d'acqua ma solo della forma
d'o.); periodo il tempo (in minuti secondi) necessario al
passaggio di due creste d'o. successive per uno stesso punto fisso.
Quando le o. interessano uno spessore limitato di massa d'acqua, come in
alto mare, si parla di o. di acqua alta, in cui le particelle assumono
traiettoria circolare di diametro decrescente con la profondità; quando,
invece, l'o. coinvolge tutto lo spessore della massa d'acqua, come presso
i litorali, si parla di o. d'acqua bassa, in cui le traiettorie delle
particelle diventano, verso il fondo, ellittiche. Avvicinandosi alla riva,
un'o. è costretta a risalire il pendio della costa, e il ventre,
incontrando la resistenza offerta dal fondo, rimane arretrato rispetto alla
cresta: ciò causa un rovesciamento dell'o. in avanti, originando
così i cavalloni e i frangenti; questi ultimi, urtando
contro un ostacolo, possono raggiungere anche notevoli altezze (un centinaio di
metri). Dopo essersi infranta sulla spiaggia, l'o. torna indietro,
formando una corrente di risucchio detta risacca. I frangenti possono
formarsi anche in mare aperto, a causa dell'interferenza di più sistemi
di o. provenienti da direzioni diverse; i cavalloni così formati
raggiungono spesso notevoli altezze e posseggono una notevole forza
distruttrice. Quando il vento che produce le o. cade, queste assumono una
forma più arrotondata, mentre la superficie del mare, prima agitata, va
placandosi nelle basse ondulazioni regolari del mare lungo; tali
o., nonostante la loro calma apparenza, sono molto pericolose. Questo
tipo d'o., detta anche o. morta, può originarsi a grande
distanza (dell'ordine di migliaia di chilometri) dalla costa su cui si abbatte;
si è calcolato che la pressione generata da un'o. morta contro la
riva possa toccare le 30 t per mq. Il moto ondoso si propaga anche in
profondità; in teoria non dovrebbe superare una misura corrispondente a
300 volte l'altezza dell'o.; tuttavia, sotto i 50 m di profondità
non si avverte più nessun movimento, anche se in superficie le acque sono
tormentate da una violenta tempesta. Oltre alle o. marine provocate dal
vento, sono di notevole importanza quelle causate da terremoti o da esplosioni
sottomarine, comunemente dette o. di marea od o. sismiche. Alcune
di esse sono causate da grandi spostamenti del fondo marino; inizialmente
l'o. è molto alta ma, a poco a poco, si abbassa diventando quasi
piatta ed estremamente lunga, sfuggendo all'osservazione diretta. Quando
raggiunge la piattaforma continentale, l'o. si ammassa per rompersi poi
sulla costa, con forza distruttrice. Le o. sismiche provocate da eruzioni
sottomarine sono simili a quelle appena descritte; la loro causa è la
pressione dei gas racchiusi sotto la superficie ed emessi dal sottostante
vulcano, che lancia in aria migliaia di tonnellate d'acqua. Un altro tipo
d'o. è la cosiddetta o. ferma o o. sessa, fenomeno
che avviene solo in laghi di una certa ampiezza; si manifesta con un improvviso
sollevamento dell'acqua su una riva del lago, mentre sulla sponda opposta si
verifica un contemporaneo abbassamento. Non si conoscono le cause di questo raro
fenomeno; alcune teorie lo attribuiscono ai repentini cambiamenti o agli
squilibri della pressione atmosferica. ● Radiotecn. e Telecom. - Il
termine o. è usato sia con riferimento specifico alla trasmissione
a mezzo di o. elettromagnetiche, sia in altre accezioni particolari,
spesso riferibili anche a o. di natura non elettromagnetica. ║
O. convogliate: utilizzate nei sistemi di telecomunicazione a frequenza
vettrice, sono così dette in quanto la loro propagazione avviene su linee
di trasporto di energia elettrica. ║ O. interrotte: o.
persistenti interrotte periodicamente con ritmo corrispondente, generalmente, a
una frequenza udibile; sono particolarmente usate per comunicazioni
radiotelegrafiche. ║ O. ionosferiche o spaziali: o.
che raggiungono il ricevitore dopo aver subito una o più riflessioni
sulla ionosfera. ║ O. persistenti o continue: quelle che non
hanno subito manipolazione o modulazione. ║ O. portante o
supporto o vettrice: o., generalmente ad alta frequenza,
utilizzata, previa modulazione, per la trasmissione dei segnali. ║ O.
modulate: o. elettromagnetiche, normalmente utilizzate nelle
trasmissioni radiotelegrafiche, telefoniche, televisive, aventi un elemento
variabile secondo le variazioni di determinati fenomeni. ● Meteorol. -
O. di Rossby: enormi creste o grandi concavità che disturbano il
normale andamento delle correnti d'aria, influendo notevolmente sul clima di una
data regione. Le correnti d'aria cosiddette "occidentali" scorrono
prevalentemente da Occidente ad Oriente e sono comprese tra i 25 e i 65° di
latitudine circa; le o. di Rossby turbano la regolarità del loro
movimento di scorrimento rivolgendosi verso Nord sotto forma di creste che si
allungano anche per migliaia di chilometri, spingendosi fino alla latitudine
della Groenlandia; esse portano verso le zone artiche aria calda che
contribuisce a mitigare il freddo delle regioni da esse investite. Verso Sud,
invece, si hanno delle "concavità", pure della lunghezza di migliaia di
chilometri, che si spingono addirittura fino all'Africa settentrionale,
apportandovi aria fredda. Le correnti occidentali sono turbate inoltre dalle
onde di Bjerknes (dette anche "cicloni delle medie latitudini" o "cicloni
extratropicali"); anch'esse contribuiscono alla ridistribuzione di energia
(sotto forma di calore o di freddo). ● Astrofis. - O.
gravitazionali: radiazioni calorifiche espresse in lunghezze d'o.
radio e causate da esplosioni cosmiche. Esse sono analoghe alle onde
elettromagnetiche, vengono prodotte in una zona eccentrica rispetto al
turbolento nucleo della Via Lattea e derivano dal grande "bang primordiale", il
cui residuo sarebbe un calore, tuttora non rivelato, che sembra illuminare le
nuvole di polvere cosmica. Le o. gravitazionali furono scoperte mediante
rivelatori di onde dotati di straordinaria sensibilità, situati a 600
miglia l'uno dall'altro, uno presso il College Park nel Maryland, e l'altro nel
Laboratorio Argonne di Chicago; l'esistenza di tali radiazioni è stata
osservata anche dall'Osservatorio Radio-Astronomico degli Stati Uniti. Le
o. gravitazionali erano già state previste nella teoria della
relatività che Einstein pubblicò nel 1916; secondo Einstein, nello
spazio dovrebbero esistere masse celesti che, sottostando a cataclismi come la
formazione di una supernova o la caduta e la morte di una stella, emetterebbero
radiazioni gravitazionali. La scoperta di queste onde e la loro registrazione
può portare nuovi elementi alle teorie che cercano di spiegare i pulsar e
i quasar, che generano potentissime emissioni di luce e di radio onde; le
o. gravitazionali, inoltre, potranno forse condurre alla spiegazione
della teoria che riguarda la "materia mancante" che, secondo i calcoli di
Einstein, rappresenterebbe più del 90% dell'intera materia
dell'universo.
Raffigurazione schematica della lunghezza d'onda