Integrazióne.

L'effetto dell'integrare. ║ I. razziale: inserimento in una comunità di una minoranza razzialmente diversa. • Mat. - Operazione matematica avente lo scopo di determinare l'integrale di una funzione, di una forma differenziale o di un'equazione differenziale. Enunciamo qui di seguito i principali metodi di i. indefinita per funzioni reali di una sola variabile reale. ║ I. per scomposizione: se la funzione F(x), da integrare, può essere espressa come somma di un numero finito di funzioni f₁ (x), f₂ (x), ...f_n (x), che si sappiano integrare, allora si ha:



║ I. per parti: siano u, v due funzioni della variabile x differenziabili nell'intervallo (a, b). Differenziando il prodotto u v otteniamo d(u · v) = uv + vdu da cui si deduce facilmente ∫udv = uv - ∫vdu. Questa relazione esprime la seguente regola di i.: l'integrale del prodotto di un fattore finito u per il differenziale di un fatto differenziale v è uguale al prodotto uv del fattore finito per il fattore differenziale, meno l'integrale indefinito del fattore differenziale per il differenziale del fattore finito. Questa regola riesce utile tutte le volte che si sappia calcolare l'integrale a secondo membro. ║ I. per sostituzione: sia f(x) una funzione continua di x nell'intervallo (a, b) e x = x (t) una funzione continua di t insieme alla sua derivata nell'intervallo (c, d), e supponiamo che se t varia nell'intervallo (c, d), x(t) varii in (a, b). Sotto queste condizioni, la regola di i. per sostituzione è espressa dalla formula ∫ di f(x)dx = ∫ di [fx(t)] x'(t)dt, la quale afferma che si passa dal primo al secondo membro sostituendo ad x e dx rispettivamente x(t), x'(t)dt. Tutte queste regole possono essere estese al caso dell'i. definita. ║ I. per serie: se data una funzione f(x) integrabile in un intervallo (a, b) non è possibile esprimere l'integrale in termini finiti, allora si ricorre all'i. per serie, cercando di esprimere la funzione f(x) come somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue f_n(x), facilmente integrabili; si otterrà così l'integrale definito della f(x) come somma della serie degli integrali definiti delle funzioni f_n(x). ║ I. grafica: procedimento pratico per determinare numericamente il valore approssimato di un integrale definito. È usato specialmente in quei casi in cui il diagramma della funzione da integrare è direttamente fornito da un apparecchio del tipo registratore. ║ I. meccanica: metodo per la determinazione approssimata di quadrature da eseguirsi con apparecchi denominati integrafi e planimetri. L'integrafo è un apparecchio atto a descrivere con moto continuo la curva integrale di una data curva, diagramma della funzione integranda f(x). I planimetri sono apparecchi mediante i quali si determina l'area della superficie (piana) limitata da una curva chiusa e che quindi possono essere, in particolare, utilizzati per la valutazione di integrali definiti di funzioni graficamente date (e conseguentemente per la valutazione di quanti si vogliano valori della corrispondente funzione integrale). Esistono due tipi di planimetri: il planimetro ortogonale e il planimetro polare. Negli ultimi tempi questi strumenti sono caduti in disuso, a causa del grande progresso delle macchine calcolatrici, e all'i. grafica viene preferita l'i. numerica.