Hilbertiano, Spazio.

Uno spazio lineare topologico separato e localmente convesso H si dice H. Se è completo, se la topologia è generata dalla norma e se esiste una legge per la quale ad ogni coppia f, g di elementi di esso associ un numero complesso (f,g), detto prodotto scalare, tale che



dove ϕ è il corpo complesso. Ricordiamo che per la completezza di H è necessario e sufficiente che ogni successione di Cauchy sia convergente, cioè che per ogni successione [f_n] tale che



esista un h ε H tale che



Diamo alcuni esempi di spazi di H. 1) Lo spazio Eⁿ dei vettori ad n componenti complesse con il prodotto scalare
La completezza dello spazio Eⁿ segue dal fatto che per le successioni di numeri complessi vale il criterio di Cauchy. 2) Lo spazio 1² delle successioni f = (x₁, x₂,..., x_n, ...) di numeri complessi tali che la serie sia convergente, con il prodotto .

3) Lo spazio L² (Ω) delle classi di funzioni complesse di quadrato sommabile rispetto alla misura di Lebesgue nell'insieme aperto di Rⁿ con il prodotto scalare

.

Tale spazio è completo rispetto alla convergenza in media del secondo ordine.