Geometrìa.

Scienza che ha per oggetto la misurazione e le proprietà delle linee, delle figure piane e dei solidi; studia, cioè, lo spazio e le figure in esso costruite. ║ G. piana: studia le superfici piane. ║ G. solida: si occupa di corpi solidi. ║ G. descrittiva: esegue graficamente le costruzioni geometriche, mostrando come si rappresentino le figure su di un piano, per mezzo di proiezioni. ║ G. elementare o euclidea: trae il nome dagli elementi di Euclide. Comprende: un gruppo di proporzioni fondamentali con cui si definiscono alcuni enti primitivi (punto, retta, piano, ecc.); la relazione di perpendicolarità, uguaglianza, parallelismo ed equivalenza; la teoria delle proporzioni; la teoria della similitudine, ecc. ║ G. non euclidee: si ottengono dalla g. euclidea negando il V postulato di Euclide o delle parallele. Ne esistono due: l'iperbolica e l'ellittica. ║ G. iperspaziale: opera in uno spazio a più di tre dimensioni. ║ G. analitica: riconduce i problemi geometrici a problemi di analisi o di algebra, con i cui mezzi vengono risolti. ║ G. differenziale: studia gli enti geometrici, per la cui definizione è necessaria l'introduzione del calcolo differenziale. ● St. - Uno dei primi cultori di g. fu Talete di Mileto (VII-VI sec. a.C.), che si interessò di problemi di natura pratica, come la determinazione dell'altezza delle piramidi d'Egitto. La scuola pitagorica concepì il punto come un ente indivisibile (monade), ad una dimensione, ne conseguì il fatto che due segmenti avevano sempre un sottomultiplo comune, erano, cioè, commensurabili. Con la scoperta di coppie di segmenti incommensurabili, si stabilì il concetto di punto come ente geometrico privo di dimensione. Il III sec. a.C. vide un grande fiorire di studiosi, quali Euclide, Archimede ed Apollonio di Perge. Si ebbe, poi, un periodo di stasi, durante il quale la g. fu trascurata nel mondo occidentale, mentre fiorirono in India ed in Arabia l'aritmetica e l'algebra. Nel 1200, Fibonacci portò in Occidente i procedimenti di calcolo degli Indiani e degli Arabi. La ripresa degli studi matematici, in Occidente, si ebbe nel 1500, ad opera degli italiani Tartaglia, Dal Ferro e Cardano. I nuovi risultati di carattere algebrico, ricavati dai nuovi studi compiuti, prelusero alla g. analitica, fondata da Fermat e Descartes. Nel XVIII sec. si sviluppò l'analisi infinitesimale, che trae spunto da problemi posti dalla g., particolarmente da quella analitica. Attraverso l'analisi infinitesimale, Newton studiò le cubiche piane. La creazione della g. proiettiva, che aveva avuto lontana origine in Pappo, ebbe i suoi precursori in Desargues e Pascal (XVII sec.). Accanto a questo indirizzo, che si limitava alla g. proiettiva del piano e dello spazio, si ebbero importanti sviluppi nella g. interspaziale, ossia degli spazi a più dimensioni. Gauss e Rieman, in particolare, si occuparono di g. differenziale. Oltre a questi studi, si effettuarono ricerche geometriche in una direzione nuova, non-euclidea. L'avvio a questi studi fu dato dal Sacchetti che, nel 1733, pubblicò un'opera con l'intento di dimostrare il postulato di Euclide sulle parallele. Egli, ragionando per assurdo, tentò di giungere ad una contraddizione logica; stabilì, così, i primi teoremi di g. non-euclidea, ma la contraddizione a cui egli giunse è dovuta ad un errore di procedimento. La trattazione sistematica della g. non-euclidea è dovuta a Lobacevskij e Bolyai. L'ulteriore generalizzazione moderna della g. analitica consiste nel permettere alle coordinate dei punti di uno spazio di variare in sistemi numerici più generali del campo reale o complesso. Da questo punto di vista, le proprietà algebriche del sistema numerico si riflettono in proprietà geometriche dello spazio costruito su di esso o viceversa. Un altro indirizzo moderno della g. riguarda lo studio topologico-differenziale delle varietà differenziabili. Esso porta allo studio moderno delle varietà algebriche e delle varietà riemnaiane, ed alla teoria della relatività; infatti, l'universo fisico della relatività si può considerare come una varietà differenziale a quattro dimensioni, dotata di metrica, che descrive le proprietà fisiche dell'universo. Fondamentale è, inoltre, l'opera di Klein, che nel Programma di Erlangen, al fine di stabilire un criterio unitario per la classificazione delle g., propone di ricorrere al concetto di gruppo di trasformazioni, togliendo così ogni privilegio alla g. elementare (euclidea), e favorendo lo sviluppo moderno della g.