Equazione.

Astron. - Quantità da aggiungere o togliere ad una misura. Esempio: e. della luce è la correzione da applicare al tempo, segnato dall'orologio all'istante dell'osservazione di un astro, per tener conto della variazione di posizione della Terra nel tempo impiegato dalla luce nel giungere dall'astro all'osservatore. ║ Grande e. solare: la soppressione di 10 giorni (dal 5 al 14 ottobre 1582) all'atto dell'entrata in vigore del calendario gregoriano, in quanto gli equinozi erano venuti a trovarsi in anticipo di 10 giorni per la "precessione degli equinozi". ║ E. solare: soppressione dell'anno bisestile negli anni secolari multipli di 400 nel calendario gregoriano. ║ E. del tempo è la correzione da applicare al tempo solare medio (tempo ufficiale di tutte le nazioni) per avere il tempo solare vero; è nulla il 15 aprile, il 13 giugno, il 1° settembre, il 25 dicembre; è massima (oltre 16 minuti primi) verso il 3 novembre. ● Chim. - E. di reazione è la rappresentazione simbolica della trasformazione di materia che una reazione chimica involve. Nel 1° membro si scrivono i reagenti (sostanze che scompaiono nella reazione); nel 2° membro (separato dal segno ^→ o ^→ o =) si scrivono i prodotti, cioè le sostanze che si formano durante la reazione. Il simbolo ^→ viene usato se la reazione avviene completamente, i simboli ^→ e = se vi è un equilibrio. L'e. chimica rappresenta un bilancio di materia ed esprime sostanzialmente la legge di conservazione della massa (Lavoisier). Può anche esprimere un bilancio entalpico, cioè energetico (principio di conservazione dell'energia), se accanto ai prodotti si scrive + ΔH (ove ΔH = calore svolto dalla reazione se < 0; = calore assorbito se > 0). ● Econ. - Relazione fra diverse grandezze, soddisfatta solo per alcuni valori ad esse attribuibili. E. dello scambio: relazione fra il livello dei prezzi e la quantità di moneta circolante. Si può scrivere (I. Fischer): MV = PQ ove M è la quantità di moneta circolante e V la sua velocità di circolazione, P è il livello dei prezzi e Q è la quantità di merce acquistata da M. ● Mat. - Uguaglianza fra due espressioni algebriche, che è verificata solo per alcuni valori della variabile (o delle variabili) che figura negli algoritmi. Tali valori si dicono soluzione o radici dell'e. Se l'uguaglianza è verificata per qualsiasi valore delle variabili, l'equazione si dice un'identità. 1) E. algebrica è quella che si ottiene uguagliando a zero un polinomio di una o più variabili (e. ad una o più incognite, rispettivamente). Si dice grado dell'e. il grado del polinomio che si è posto uguale a zero. Se a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ...+ a_n = 0 è un'e. (ove a₀, a₁, ..., a_n, reali o complessi, ne sono i coefficienti), un valore x = α ne è radice se è verificata la a₁αⁿ + a₂α^n-1 + ...+a_n= 0; in tal caso il polinomio è divisibile per (x - α). Se il polinomio poi è divisibile per (x - α)² ma non per (X- α)³, si dice che α è radice doppia dell'e.: se è divisibile per (x - α)^m ma non per (x - α)^m+1 (con m ≤ n) si dice che α è radice m-esima. Si dimostra che, per le e. a coefficienti reali o complessi, "ogni e. di grado n ammette almeno una soluzione" (teorema fondamentale dell'algebra di d'Alembert): ne consegue che "ogni e. algebrica di grado n ammette esattamente n "radici" (n.b. che una radice di ordine r va contata r volte). Lo studio delle e. algebriche, antichissimo, ha dato le espressioni mediante le quali si possono calcolare le radici, per le e. fino al 4° grado, mediante un numero finito di operazioni sui coefficienti ed estrazioni di radici ad esponente intero. Per quelle di grado superiore non si hanno (eccetto casi particolari) formule esatte e si utilizzano determinazioni grafiche o numeriche, che possono essere spinte fino all'approssimazione voluta. L'approssimazione numerica, semplice ma molto laboriosa, è il metodo usato nei calcolatori elettronici. ║ E. algebrica di 1° grado (o lineare): se una incognita è del tipo ax + b = 0, con unica soluzione x = -b/a; se in n incognite è del tipo a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n + a_n+1 = 0, ove x₁x₂ ..., x_n sono le n variabili indipendenti; quando l'e., come qui, è a più variabili, di solito è associata ad altre e. nelle stesse variabili a formare un sistema di e. ║ E. algebrica di 2° grado: forma comune ax² + bx + c = 0. Se è a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 l'e. si dice pura e ha soluzioni . Se è: a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 l'e. si dice spuria e ha soluzioni x = 0 e x = - b/a. Se è a, b, c = 0 le due soluzioni sono date da x = (- b ±ove Δ = b² - 4ac si dice discriminante dell'e. Si possono avere 3 casi: Δ > 0 (l'e. ha due radici reali e distinte); Δ < 0 (l'e. ha due radici complesse e coniugate); Δ = 0 (l'e. ha due radici reali e coincidenti). Qualora b sia un numero pari, posto b = 2 β si può anche usare la formula ridotta x = (- β ± -ac)/a. Se x₁ ed x₂ sono le radici dell'e., è: x₁ + x₂ = - b/a ed x₁x₂ = c/a. ║ E. algebrica di 3° grado. Forma generale ax³ + bx² + cx + d = 0 riducibile, mediante la sostituzione x = y - b/3a alla formula ridotta y³ + py + q = 0. La formula di Cardano, già trovata nel 1515 da Scipione dal Ferro e poi dal Tartaglia se si pone:




dà come radici le 3 forme:

x₁= u+v




La quantità q²/4 + p³/27 = Δ si dice discriminante dell'e. cubica. Anche qui (se p e q sono reali) si presentano 3 casi: Δ > 0, l'e. ha 1 radice reale e due complesse coniugate; Δ = 0, si hanno 3 radici reali coincidenti; Δ < 0, si hanno 3 radici reali e distinte, ma dalla formula di Cardano solo una è ricavabile come tale senza ulteriori trasformazioni analitiche. ║ E. algebrica di 4° grado. Citiamo il caso particolare di e. biquadratica, tipo ax⁴ + bx² + c = 0 riconducibile a una di 2° grado con la sostituzione y = x². L'e. binomia, del tipo axⁿ + b = 0, è riconducibile in molti casi a quella di 2° grado, ed è comunque facilmente risolubile per tentativi, essendo x = le n soluzioni coincidenti. Caso particolare ne è la forma xⁿ - 1 = 0 le cui radici si dicono radici n-esime dell'unità. Particolari tipi sono poi le e. reciproche per le quali, se α è una radice, lo è anche 1/α; esse hanno la proprietà di avere uguali (od opposti) i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi. Quelle dei gradi più bassi sono riconducibili a quella di 2° grado. 2) E. trascendentali sono le e. non algebriche (esponenziali, logaritmiche, trigonometriche). ║ E. differenziale. Diconsi e. differenziali le e. funzionali (le cui incognite sono cioè delle funzioni, anziché uno o più numeri come in quelle algebriche) nelle quali la (o le) funzione incognita compare, oltre che come tale, anche con almeno una delle sue derivate. Dicesi grado dell'e. differenziale l'ordine della derivata che vi compare con l'ordine più alto. L'e. differenziale si dice ordinaria se compare una sola funzione incognita in una sola variabile; se la funzione incognita è una ma dipende da due o più variabili indipendenti, l'e. differenziale si dice a derivate parziali perché in essa compaiono le derivate parziali della funzione incognita: questo tipo non sarà qui trattato. Lo studio delle e. differenziali investe ogni campo (matematica, fisica, meccanica, biologia, chimica, statistica, ecc.) in quanto la maggior parte dei fenomeni sono descrivibili matematicamente proprio in termini di e. differenziali, spesso molto complesse. La risoluzione delle e. differenziali, quando possibile, è sempre laboriosa, tranne pochi casi semplici. La soluzione della e., dette integrale generale è la funzione che con le sue derivate soddisfa l'e. differenziale. In genere di queste funzioni ve ne è una o più infinità, in quanto nell'integrale generale compare un numero di costanti arbitrarie pari all'ordine dell'e. I valori di tali costanti si calcolano imponendo all'integrale generale di soddisfare a determinate condizioni, diverse caso per caso, dette condizioni al contorno (o condizioni ai limiti, ecc.); si ottiene allora un integrale particolare dell'e., che ne è l'effettiva soluzione nel caso specifico. Vediamo alcuni tipi di e. differenziale ordinarie del 1 ° ordine. a) E. differenziali a variabili separate: y' = f(x,y) riconducibile a dx/dy = B(y)/A(y) ove A(x) e B(y) sono due polinomi nella sola x e nella sola y rispettivamente. L'integrale generale è:



b) E. differenziali omogenee (o di Manfredi): tipo y' = f(x,y) con f(x,y,) funzione continua ed omogenea di grado zero in x e y. Con la sostituzione x/y = t si riduce alla dt/f(1,t) - t = dx/y che è a variabili separate. c) E. differenziali lineari: tipo y' = A(x)y + B(x). Si distinguono 2 casi: 1) B(X) ≡ 0 che dà: y' = A(x)y (e. differenziale lineare incompleta od omogenea) il cui integrale generale è y = c ּ exp (A(x)dx). (N.B. exp. a significa e^a); 2) B(x) ≠ 0 (non identificato nullo); l'e. differenziale lineare si dice non omogenea (o completa) e l'integrale generale è:
y = exp (∫ A(x)dx) · [∫ B(x) ּ exp (- A(x)dx + c)].
c) E. di Bernoulli: tipo: y' = A(x)y + B(x)yⁿ, ove A(x), B(x) sono funzioni continue ed n è reale ≠ 0 e ≠ 1. La posizione z = 1/y^n-1 ci dà: (1/1 - n)z' = A(x)z + B(x) che è del tipo lineare nell'incognita z. La maggior parte degli altri tipi di e. differenziali o fornisce una soluzione sotto forma parametrica o richiede per la soluzione la conoscenza di un integrale singolare (cioè di una funzione y = y(x) che soddisfi sia alla F(x, y, y') = 0 data, sia alla F'y'(x, y, y') = 0).